Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Имеем:

Ответ: 75.

За­ме­тим, что тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 24, 32 и 40 по­до­бен еги­пет­ско­му тре­уголь­ни­ку со сто­ро­на­ми 3, 4, 5 с ко­эф­фи­ци­ен­том 8. Сле­до­ва­тель­но, этот тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, а от­ре­зок длины 24  — вы­со­та изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке тре­уголь­ни­ка. Тогда его пло­щадь можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 504.

Пусть угол BAL равен α, угол ACB равен β. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке ABC равна 180°, то есть Сле­до­ва­тель­но, Ана­ло­гич­но, из тре­уголь­ни­ка ALC на­хо­дим, что а тогда

При­рав­ни­вая по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния для угла β, по­лу­ча­ем урав­не­ние от­ку­да на­хо­дим Тогда ис­ко­мый угол

Ответ: 62.

За­пи­шем это же ре­ше­ние иначе.

Пусть угол BAL равен α, угол ACB равен β. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке ABC равна 180°, от­ку­да Ана­ло­гич­но, из тре­уголь­ни­ка ALC По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, угол ACB равен 62°.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Угол ALC яв­ля­ет­ся внеш­ним углом тре­уголь­ни­ка ABL. Внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме двух внут­рен­них углов, не смеж­ных с ним. Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

тогда

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке ABC равна 180°, от­ку­да

Таким об­ра­зом, угол ACB равен 62°.

При­ве­дем ре­ше­ние Ге­ор­гия Таксы.

Углы ALC и ALB яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми, по­это­му

В тре­уголь­ни­ке ALB Луч AL  — бис­сек­три­са угла BAC, по­это­му и Сле­до­ва­тель­но, в тре­уголь­ни­ке ABC:

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что по усло­вию за­да­чи тре­уголь­ник ABC ту­по­уголь­ный. На ри­сун­ке изоб­ра­жен ост­ро­уголь­ный тре­уголь­ник, что не ме­ня­ет ре­ше­ния.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABH, из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем BH:

По опре­де­ле­нию ко­си­нус угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  — это от­но­ше­ние при­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе:

Ответ: 0,5.

Из тре­уголь­ни­ка ABH, по опре­де­ле­нию ко­си­ну­са:

Ответ: 0,8.