Углы BKA и KAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му углы BAK и BKA также равны. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABK  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да AB  =  BK  =  6. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен сумме длин всех его сто­рон P  =  2(BC + AB)  =  2(6 + 10 + 6)  =  44.

Ответ: 44.

Тра­пе­ция ABCD — рав­но­бед­рен­ная, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­ни­ях равны. Сумма углов тра­пе­ции равна 360°. Сле­до­ва­тель­но, ∠CDA  =  (360° − 108° − 108°)/2  =  72°.

По­сколь­ку тре­уголь­ник ACD  — рав­но­бед­рен­ный, ∠CDA  =  ∠ACD  =  72°. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, сле­до­ва­тель­но, ∠CAD  =  180° − 72° − 72° = 36°.

Ответ: 36.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и По­сколь­ку AE  — бис­сек­три­са угла A, Сумма смеж­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­это­му угол ABC равен Таким об­ра­зом, ост­рый угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен

Ответ: 62.

Так как KN  — сред­няя линия тра­пе­ции, то KL и LN сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и СAD со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 5.

За­ме­тим, что сто­ро­на ромба AB  =  AD  =  AH + HD  =  44 + 11  =  55.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH най­дем BH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 1815.

Пусть точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей  — точка O. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, от­ку­да AO  =  OC  =  AB  =  CD. По­сколь­ку OC  =  CD, тре­уголь­ник COD  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, ∠COD = ∠CDO  =  (180° − ∠ACD)/2  =  110°/2  =  55°. Угол COD яв­ля­ет­ся ис­ко­мым углом между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 55.

Про­ве­дем вто­рую вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABH и CKD, они пря­мо­уголь­ные, AB равно CD, BH равно CK, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Най­дем от­ре­зок Вы­со­ты BH и CK пер­пен­ди­ку­ляр­ны AD, зна­чит, они па­рал­лель­ны, BH равно CK, сле­до­ва­тель­но, HBCK  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му

Ответ: 10.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Имеем:

Тогда

Ответ: 1717.

При­ме­ча­ние.

Вы­со­та делит сто­ро­ну на два от­рез­ка, и в от­ве­те тре­бу­ет­ся ука­зать длины обоих от­рез­ков. Длина пер­во­го от­рез­ка 17, и длина вто­ро­го от­рез­ка 17, по­это­му ответ 1717.

Пусть KN  — сред­няя линия тра­пе­ции, где L  — точка пе­ре­се­че­ния с диа­го­на­лью.

Так как KN  — сред­няя линия тра­пе­ции, то KL и LN сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и СAD со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 6,5.

Пусть точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей  — точка O. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, от­ку­да AO  =  OC  =  AB  =  CD. По­сколь­ку OC  =  CD, тре­уголь­ник COD  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Угол COD яв­ля­ет­ся ис­ко­мым углом между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 79,5.