Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы со­став­ля­ют в сумме 90°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.»  — не­вер­но, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы равны, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны. Если внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы со­став­ля­ют в сумме 90°, то они могут быть не равны.

2)  «Если угол равен 60°, то смеж­ный с ним равен 120°.»  — верно, сумма смеж­ных углов равна 180°.

3)  «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы равны 70° и 110°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.»  — верно, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы со­став­ля­ют в сумме 180°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

4)  «Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.»  — верно, через три точки либо нель­зя про­ве­сти пря­мую, если они не лежат на одной пря­мой, либо можно, но толь­ко одну.

Ответ: 234.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Через любые три точки про­хо­дит не более одной окруж­но­сти.»  — верно, Через любые три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой, про­хо­дит един­ствен­ная окруж­ность. Если точки лежат на одной пря­мой, то окруж­ность про­ве­сти не­воз­мож­но. Тем самым, через любые три точки можно про­ве­сти не более одной окруж­но­сти.

2)  «Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диа­мет­ров, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.»  — верно, если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей боль­ше суммы ра­ди­у­сов, то окруж­но­сти не имеют общих точек. Сумма диа­мет­ров боль­ше суммы ра­ди­у­сов, зна­чит, окруж­но­сти не имеют общих точек.

3)  «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 3 и 5, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 1, то эти окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся»  — не­вер­но, окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, может ле­жать внут­ри окруж­но­сти с ра­ди­у­сом 5.

4)  «Если дуга окруж­но­сти со­став­ля­ет 80°, то впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу окруж­но­сти, равен 40°.»  — верно, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Ответ: 124.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник имеет шесть осей сим­мет­рии.»— верно, при чет­ном ко­ли­че­стве углов оси сим­мет­рии про­хо­дят через про­ти­во­по­лож­ные вер­ши­ны и через се­ре­ди­ны про­ти­во­по­лож­ных сто­рон.

2)  «Пря­мая не имеет осей сим­мет­рии.»  — не­вер­но, пря­мая имеет бес­ко­неч­ное число осей сим­мет­рии.

3)  «Цен­тром сим­мет­рии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.»  — верно, ромб яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, а се­ре­ди­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии.

4)  «Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник имеет три оси сим­мет­рии.»  — не­вер­но, у рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка одна ось сим­мет­рии.

Ответ: 13.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.»  — не­вер­но, так как нет вто­ро­го рав­но­го угла.

2)  «Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.»  — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

3)  «Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны ко­си­ну­сам про­ти­во­ле­жа­щих углов.»  — не­вер­но, по тео­ре­ме си­ну­сов сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны си­ну­сам про­ти­во­ле­жа­щих углов.

4)  «Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.»  — верно, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов.

Ответ: 24.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что фраза «сумма квад­ра­тов без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния» под­ра­зу­ме­ва­ет, что от суммы квад­ра­тов не­об­хо­ди­мо от­нять удво­ен­ное про­из­ве­де­ние. В ка­че­стве по­хо­же­го при­ме­ра при­ве­дем фразу «сто без трех», опи­сы­ва­ю­щую число 97.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)«Каж­дая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка мень­ше раз­но­сти двух дру­гих сто­рон.»  — не­вер­но, так как если имеем, что

2)  «В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке име­ет­ся не более двух рав­ных углов.»  — не­вер­но, в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны, но они также могут быть равны и углу на­про­тив ос­но­ва­ния.

3)«Если сто­ро­на и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­не и углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.»  — не­вер­но, ра­вен­ство опре­де­ля­ет­ся по трем эле­мен­там.

4)«В тре­уголь­ни­ке ABC, для ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наи­мень­ший.»  — верно, в тре­уголь­ни­ке про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

Ответ: 4.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «В тре­уголь­ни­ке про­тив мень­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.»  — не­вер­но, в тре­уголь­ни­ке на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

2)  «Если один угол тре­уголь­ни­ка боль­ше 120°, то два дру­гих его угла мень­ше 30°.»  — не­вер­но, сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°.

3)  «Если все сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка мень­ше 1, то и все его вы­со­ты мень­ше 1.»  — верно, пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из точки к пря­мой, мень­ше любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из той же точки к этой пря­мой.

4)  «Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка не пре­вос­хо­дит 90°.»  — верно, сумма ост­рых углов тре­уголь­ни­ка равна 90°.

Ответ: 34.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если про­ти­во­по­лож­ные углы вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка по­пар­но равны, то этот че­ты­рех­уголь­ник  — па­рал­ле­ло­грамм.»  — верно, по при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма.

2)  «Если сумма трех углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 200°, то его чет­вер­тый угол равен 160°.»  — верно, Сумма углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 360°.

3)  «Сумма двух про­ти­во­по­лож­ных углов че­ты­рех­уголь­ни­ка не пре­вос­хо­дит 180°.»  — не­вер­но, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов че­ты­рех­уголь­ни­ка может быть боль­ше 180°.

4)  «Если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 6, то сред­няя линия этой тра­пе­ции равна 10.»  — не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний.

Ответ: 12.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна 10.»  — не­вер­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

2)  «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.»— не­вер­но, пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

3)  «Пло­щадь тра­пе­ции не пре­вос­хо­дит про­из­ве­де­ния сред­ней линии на вы­со­ту.»  — верно, пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту.

4)  «Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этой сто­ро­не.»  — верно, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

Ответ: 34.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 3 и 5, то его тре­тья сто­ро­на боль­ше 3.»  — не­вер­но, в тре­уголь­ни­ке сумма двух сто­рон боль­ше тре­тьей сто­ро­ны. На­при­мер, су­ще­ству­ет тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3, 5 и 2,5.

2)  «Внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме двух его внут­рен­них углов.»  — не­вер­но, внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме двух внут­рен­них углов, не смеж­ных с ним.

3)  «Если две сто­ро­ны и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам и углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.»  — не­вер­но, если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам и углу между ними дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

4)  «Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 3 и 4, то его тре­тья сто­ро­на мень­ше 7.»  — верно, в тре­уголь­ни­ке сумма двух сто­рон боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

Ответ: 4.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если две сто­ро­ны и угол между ними од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам и углу между ними дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.»  — верно, рав­ные тре­уголь­ни­ки яв­ля­ют­ся по­доб­ны­ми.

2)  «В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке име­ет­ся не менее двух рав­ных углов.»— верно, в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны.

3)  «Пло­щадь тра­пе­ции не пре­вос­хо­дит про­из­ве­де­ния сред­ней линии на вы­со­ту.»  — верно, пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту.

4)  «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой мень­ше 1, то и длина любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из дан­ной точки к пря­мой, мень­ше 1.»  — не­вер­но, пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из точки к пря­мой, мень­ше любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из той же точки к этой пря­мой.

Ответ: 123.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон»  — верно, так как пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна где  — угол между сто­ро­на­ми a и b тре­уголь­ни­ка. Синус угла все­гда мень­ше еди­ни­цы, по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон.

2)  «Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме ее ос­но­ва­ний»  — не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме его ос­но­ва­ний.

3)  «Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны»  — верно, по при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Ответ: 13.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм  — квад­рат.»  — верно, если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм  — квад­рат.

2)  «Смеж­ные углы равны.»  — не­вер­но, сумма смеж­ных углов равна 180°.

3)  «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той.»  — не­вер­но, толь­ко одна бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той.

Ответ: 1.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Сумма углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 360 гра­ду­сам.»  — верно, по тео­ре­ме о сумме углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка сумма углов n-уголь­ни­ка равна 180°(n − 2). Сле­до­ва­тель­но, сумма углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 360 гра­ду­сам.

2)  «Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме ее ос­но­ва­ний.»  — не­вер­но, Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний.

3)  «Любой па­рал­ле­ло­грамм можно впи­сать в окруж­ность.»  — не­вер­но, в окруж­ность можно впи­сать толь­ко че­ты­рех­уголь­ник, сумма про­ти­во­по­ло­жен­ных углов ко­то­ро­го равна 180°.

Ответ: 1.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей.»  — не­вер­но, пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей на синус угла между ними.

2)  «Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.»  — не­вер­но, Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам.

3)  «Бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре впи­сан­ной в него окруж­но­сти.»  — верно, бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре впи­сан­ной в него окруж­но­сти.

Ответ: 3.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.»  — верно, сумма трех углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, один из углов пря­мой, по­это­му сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90°.

2)  «Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме ее ос­но­ва­ний.»  — не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний.

3)  «В любой че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность.»  — не­вер­но, в че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, толь­ко если равны суммы длин его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон.

Ответ: 1.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  « Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.»  — не­вер­но, диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.

2)  «Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.»  — верно, все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.

3)  «Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.»  — верно, наи­мень­ший угол в любом тре­уголь­ни­ке все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

Ответ: 23.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1.  Утвер­жде­ние верно, вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда сумма про­ти­во­по­лож­ных углов этого че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°.

2.  Утвер­жде­ние не­вер­но, про­ти­во­по­лож­ные углы ромба равны.

3.  Утвер­жде­ние не­вер­но, для того, чтобы су­ще­ство­вал тре­уголь­ник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей сто­ро­ны.

Ответ: 1.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  « Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.»  — верно, это утвер­жде­ние  — один из при­зна­ков по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

2)  «Диа­го­на­ли ромба равны.»  — не­вер­но, диа­го­на­ли ромба не равны.

3)  «Тан­генс лю­бо­го остро­го угла мень­ше еди­ни­цы.»  — не­вер­но, тан­генс может быть боль­ше еди­ни­цы.

Ответ: 1.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Все рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.»  — не­вер­но, не все рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

2)  «Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.»  — верно, такой пря­мо­уголь­ник  — это квад­рат.

3)  «Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.»  — не­вер­но, сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.

Ответ: 2.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме его внут­рен­них углов.»  — не­вер­но, внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме двух внут­рен­них углов, не смеж­ных с ним.

2)  «Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.»  — верно, диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

3)  «Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти па­рал­лель­на ра­ди­у­су, про­ве­ден­но­му в точку ка­са­ния.»  — не­вер­но, вер­ное утвер­жде­ние: «Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, про­ве­ден­но­му в точку ка­са­ния».

Ответ: 2.

Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1.  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния двух его сто­рон  — верно, со­глас­но фор­му­ле для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка:

2.  Сред­няя линия тра­пе­ции равна сумме ее ос­но­ва­ний  — не­вер­но, сред­няя линия тра­пе­ция равна по­лу­сум­ме ее ос­но­ва­ний.

3.  Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны  — верно, со­глас­но при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Ответ: 13.

Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этой сто­ро­не»  — верно, так как ромб  — это част­ный слу­чай па­рал­ле­ло­грам­ма и его пло­щадь есть про­из­ве­де­ние его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этой сто­ро­не.

2)  «Бо­ко­вые сто­ро­ны любой тра­пе­ции равны»  — не­вер­но, бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны.

3)  «Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов»  — верно, наи­мень­ший угол в любом тре­уголь­ни­ке все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

Ответ: 13

Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Все углы ромба равны»  — не­вер­но.

2)  «Пло­щадь квад­ра­та равна про­из­ве­де­нию двух его смеж­ных сто­рон»  — верно, со­глас­но фор­му­ле

3)  «Любые два рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ка по­доб­ны»  — верно, со­глас­но при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Ответ: 23

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Смеж­ные углы равны»  — не­вер­но, смеж­ные углы и свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

2)  «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той»  — не­вер­но, вер­ным будет яв­лять­ся утвер­жде­ние: «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той».

3)  «Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.»  — верно, такой пря­мо­уголь­ник  — это квад­рат.

Ответ: 3.

1)  «Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны»  — верно по при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

2)    «Сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90 гра­ду­сам.»  — не­вер­но, сумма углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам.

3)  «Любая бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной»  — не­вер­но, это утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 1.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.»  — верно, это утвер­жде­ние  — один из при­зна­ков по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

2)  «Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся, если ра­ди­ус одной окруж­но­сти боль­ше ра­ди­у­са дру­гой окруж­но­сти»  — не­вер­но, т. к. для того, чтобы утвер­ждать, пе­ре­се­ка­ют­ся окруж­но­сти или нет, нужно еще знать вза­им­ное по­ло­же­ние их цен­тров.

3)  «Тан­генс лю­бо­го остро­го угла мень­ше еди­ни­цы.»  — не­вер­но, тан­генс может быть боль­ше еди­ни­цы.

Ответ: 1.

Рас­смот­рим каж­дое из утвер­жде­ний:

1)  «Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его на два рав­ных тре­уголь­ни­ка»  — верно.

2)  «Все углы ромба равны»  — не­вер­но.

3)  «Пло­щадь квад­ра­та равна про­из­ве­де­нию двух его смеж­ных сто­рон»  — верно, со­глас­но фор­му­ле

Ответ: 13.