Ос­но­ва­ние AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равно 12. Окруж­ность ра­ди­у­са 8 с цен­тром вне этого тре­уголь­ни­ка ка­са­ет­ся про­дол­же­ний бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в его се­ре­ди­не. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC .

Через се­ре­ди­ну K ме­ди­а­ны BM тре­уголь­ни­ка ABC и вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 80. Бис­сек­три­са AD пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну BK в точке E, при этом BD : CD  =  1 : 3. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка EDCK.

Вы­со­ты ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ные из точек B и C, про­дол­жи­ли до пе­ре­се­че­ния с опи­сан­ной окруж­но­стью в точ­ках B₁ и C₁. Ока­за­лось, что от­ре­зок B₁C₁ про­хо­дит через центр опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол BAC.

В тре­уголь­ни­ке ABC на его ме­ди­а­не BM от­ме­че­на точка K так, что BK : KM  =  4 : 1. Пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC , ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках M, K и P. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если углы тре­уголь­ни­ка MKP равны 49°, 69° и 62°.

Диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, вер­ши­ны ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны на окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Из­вест­но, что  = 72°,  = 102°,  = 110°. Най­ди­те 

Вер­ши­ны ромба рас­по­ло­же­ны на сто­ро­нах па­рал­ле­ло­грам­ма, а сто­ро­ны ромба па­рал­лель­ны диа­го­на­лям па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей ромба и па­рал­ле­ло­грам­ма, если от­но­ше­ние диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равно 28.

Длина ка­те­та AC пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна 8 см. Окруж­ность с диа­мет­ром AC пе­ре­се­ка­ет ги­по­те­ну­зу AB в точке M. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что

На ри­сун­ке изоб­ра­жен ко­ло­дец с «жу­рав­лем». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо  — 6 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 0,5 м?

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD бо­ко­вые сто­ро­ны равны мень­ше­му ос­но­ва­нию BC. К диа­го­на­лям тра­пе­ции про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CE. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BCEH, если пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 36.

В тра­пе­ции про­ве­ден от­ре­зок, па­рал­лель­ный ос­но­ва­ни­ям и де­ля­щий ее на две тра­пе­ции оди­на­ко­вой пло­ща­ди. Най­ди­те длину этого от­рез­ка, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны  и 

Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CP. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BCP, равен 8, тан­генс угла BAC равен Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

На каж­дой из двух окруж­но­стей с ра­ди­у­са­ми 3 и 4 лежат по три вер­ши­ны ромба. Най­ди­те его сто­ро­ну.

Пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям AD и BC тра­пе­ции ABCD, про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ет ее бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках E и со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те длину от­рез­ка EF, если

Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM.

Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в ее се­ре­ди­не. Длина сто­ро­ны AC равна 4. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

Ме­ди­а­на BM тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей сто­ро­ну BC в ее се­ре­ди­не. Най­ди­те длину сто­ро­ны AC, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC равен 7.

Три окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁, O₂ и O₃ и ра­ди­у­са­ми 2,5, 0,5 и 4,5 со­от­вет­ствен­но по­пар­но ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те угол O₁O₂O₃.

Най­ди­те ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, если его ги­по­те­ну­за равна 12, а пло­щадь равна 18.

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O₁ и O₃ и ра­ди­у­са­ми 4,5 и 2,5 ка­са­ют­ся друг с дру­гом внеш­ним об­ра­зом и внут­рен­ним об­ра­зом ка­са­ют­ся окруж­но­сти с цен­тром O₂ ра­ди­у­сом 7,5. Най­ди­те угол O₁O₂O₃.

Бис­сек­три­са CM тре­уголь­ни­ка ABC делит сто­ро­ну AB на от­рез­ки AM  =  17 и MB  =  19. Ка­са­тель­ная к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, про­хо­дя­щая через точку C, пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке D. Най­ди­те CD.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 120°, а длина сто­ро­ны AB на мень­ше по­лу­пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­ро­ны BC и про­дол­же­ний сто­рон AB и AC.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся его сто­рон в точ­ках M, K и P. Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC, если углы тре­уголь­ни­ка MKP равны 38°, 78° и 64°.

Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC от­но­сит­ся к длине сто­ро­ны AB как 9:7. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM.

Две ка­са­ю­щи­е­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K окруж­но­сти, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны 16 и 48, впи­са­ны в угол с вер­ши­ной A. Общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям, про­хо­дя­щая через точку K, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны угла в точ­ках B и C. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, при­чем от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если

Одна из бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка де­лит­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис в от­но­ше­нии 40 : 1, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка, если длина сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, к ко­то­рой эта бис­сек­три­са про­ве­де­на, равна 30.

Окруж­ность ра­ди­у­са 4 ка­са­ет­ся внеш­ним об­ра­зом вто­рой окруж­но­сти в точке B. Общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям, про­хо­дя­щая через точку B, пе­ре­се­ка­ет­ся с не­ко­то­рой дру­гой их общей ка­са­тель­ной в точке A. Най­ди­те ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти, если

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны A и C тре­уголь­ни­ка ABC и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны AB и BC в точ­ках K и E со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки AE и CK пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те если

В окруж­но­сти с цен­тром в точке O про­ве­де­ны две хорды AB и CD. Пря­мые AB и CD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M, ле­жа­щей вне окруж­но­сти. При этом Най­ди­те OM.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC с пря­мым углом B, про­ве­де­на бис­сек­три­са угла A. Из­вест­но, что она пе­ре­се­ка­ет се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный к сто­ро­не BC в точке K. Най­ди­те угол BCK, если из­вест­но, что угол ACB равен 40°.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC катет AC равен 8, катет BC равен 15. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рая про­хо­дит через концы ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка и ка­са­ет­ся пря­мой BC.

На сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC взята точка D так, что окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки A, C и D, ка­са­ет­ся пря­мой BC. Най­ди­те AD, если AC  =  12, BC  =  18 и CD  =  8.

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, диа­го­на­ли ко­то­рой равны 15 и 7, а сред­няя линия равна 10.

В тре­уголь­ни­ке ABC на его ме­ди­а­не BM от­ме­че­на точка K так, что BK : KM  =  3 : 7. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

Вер­ши­ны ромба рас­по­ло­же­ны на сто­ро­нах па­рал­ле­ло­грам­ма, а сто­ро­ны ромба па­рал­лель­ны диа­го­на­лям па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей ромба и па­рал­ле­ло­грам­ма, если от­но­ше­ние диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма равно 56.

Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC от­но­сит­ся к длине сто­ро­ны  AB как 7:10. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC.

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, диа­го­на­ли ко­то­рой равны 16 и 12, а сред­няя линия равна 10.