Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка, зна­чит, У тре­уголь­ни­ков ABK и ABM вы­со­та, про­ве­ден­ная к сто­ро­не BM, общая, по­это­му пло­ща­ди этих тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как их ос­но­ва­ния BK и BM, от­ку­да:

Про­ве­дем пря­мую MN, па­рал­лель­ную AP. Точка M  — се­ре­ди­на AC, сле­до­ва­тель­но, MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­каAPC, зна­чит, PN  =  CN. По тео­ре­ме Фа­ле­са для угла MBC на­хо­дим: а так как PN  =  CN, по­лу­ча­ем, что

Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ков BKP и BMC со­на­прав­ле­ны, их пло­ща­ди от­но­сят­ся как про­из­ве­де­ние от­но­ше­ний со­на­прав­лен­ных сто­рон, по­это­му

то есть от­ку­да

Тем самым, для ис­ко­мо­го от­но­ше­ния пло­ща­дей имеем:

Ответ: