Тип 25 № 340325 
Раздел кодификатора ФИПИ: Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники
i
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
Решение. 
Пусть площадь треугольника ABC равна S. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит, 
У треугольников ABK и ABM высота, проведенная к стороне BM, общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания BK и BM, откуда:
Проведем прямую MN, параллельную AP. Точка M — середина AC, следовательно, MN — средняя линия треугольникаAPC, значит, PN = CN. По теореме Фалеса для угла MBC находим: 
а так как PN = CN, получаем, что 
Стороны треугольников BKP и BMC сонаправлены, их площади относятся как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому
то есть 
откуда 
Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: Раздел кодификатора ФИПИ: 
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем