СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика
математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 24 № 353511

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, диа­го­на­ли ко­то­рой равны 16 и 12, а сред­няя линия равна 10.

Ре­ше­ние.

Пусть — длина сред­ней линии. Про­ведём вы­со­ту CH и про­ведём пря­мую CE, па­рал­лель­ную BD. Рас­смот­рим четырёхуголь­ник сле­до­ва­тель­но, BCED — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник ACE, Пусть p — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ACE. Найдём пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACE по фор­му­ле Ге­ро­на:

Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACE как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния AE на вы­со­ту CH, от­ку­да найдём

 

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию вы­со­ты на по­лу­сум­му ос­но­ва­ний:

Ответ: 96.

 

При­ме­ча­ние.

Ре­ше­ние можно со­кра­тить, за­ме­тив, что тре­уголь­ник ACE яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным, и его пло­щадь равна пло­ща­ди тра­пе­ции ABCD. Дей­стви­тель­но, в силу ра­вен­ства

по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, за­клю­ча­ем, что тре­уголь­ник ACE пря­мо­уголь­ный. Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка на­хо­дит­ся как по­лу­про­из­ве­де­ние ка­те­тов:

Далее, тре­уголь­ник ACE имеет общую вы­со­ту с тра­пе­ци­ей, а его ос­но­ва­ние AE есть сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции. Таким об­ра­зом, най­ден­ная пло­щадь дан­но­го тре­уголь­ни­ка равна ис­ко­мой пло­ща­ди тра­пе­ции.