Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49°, 69° и 62°.
Пусть
∠BAC = α , ∠ABC = β , ∠ACB = γ;
∠PKM = 49°, ∠MPK = 69°, ∠KMP = 62°.
По свойству касательных AM = AP, BM = BK , CP = CK . Значит, треугольники AMP, BMK и CPK равнобедренные, откуда получаем:
Значит, 
Аналогично получаем, что 
и 
Решая систему относительно α , β и γ , получаем, что углы треугольника ABC равны 82°, 42°, 56°.
Приведем решение Марии Васильевны.
Угол AMP — угол между касательной и хордой, следовательно, его величина равна половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой, то есть дуги MP.
Угол MKP — вписанный, следовательно, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то есть дуги MP.
Тогда 
По свойству касательных AM = AP, тогда в равнобедренном треугольнике MAP
Аналогично найдем
и
Приведем другое решение.
Пусть O — центр окружности.
Угол MKP — вписанный, угол MOP — центральный, тогда 
В четырехугольнике AMOP 
как углы между касательной и радиусом, проведенным в точку касания. Тогда
Аналогично
и
Ответ: 82°, 42°, 56°.