Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в ее середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.
Введем обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник BOK: он равнобедренный, следовательно, 
Аналогично в треугольнике OKM имеем: 
Теперь рассмотрим треугольник MBK: сумма его углов равна 180°, поэтому
Поскольку кроме этого 
имеем:
Рассмотрим треугольники BMK и 
они прямоугольные, имеют общий катет, а катеты BK и KC равны. Следовательно, эти треугольники равны, а значит, 
Точка M равноудалена от всех вершин треугольника: 
следовательно, точка M — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда 
Ответ: 14.
Приведем другое решение.
Введем обозначения, как показано на рисунке. Угол BKM прямой, поскольку он опирается на диаметр окружности. Тогда отрезок MK является высотой треугольника BMC, и так как он является также медианой этого треугольника, треугольник BMC равнобедренный. Поэтому BM = MC = AM. Следовательно, точка М является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC, тогда AC = 2R = 2 · 7 = 14.
Приведем еще одно решение.
Угол BKM — прямой, поскольку опирается на диаметр. MK — средняя линия треугольника ABC, тогда MK параллельна AB и ∠ABC = ∠MKC = 90°. Таким образом, треугольник ABC прямоугольный, центр описанной вокруг него окружности лежит на середине гипотенузы AC, тогда AC = 2R = 2 · 7 = 14.
Примечание.
Обращаем внимание читателей на то, что в условии задачи задан радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, а не радиус изображенной на рисунке окружности, описанной вокруг треугольника BMK.