Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 16 и 48, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Пусть Q — центр большей окружности, а O — центр меньшей, QM и ON — радиусы, проведенные в точки касания окружностей с прямой AC, S — центр окружности, описанной около треугольника ABC , r — радиус окружности, описанной около треугольника ABC .
Поскольку BC и AB — общие касательные к окружностям, BO и BQ — биссектрисы углов ABK и смежного с ним. Значит, угол OBQ прямой, следовательно, из треугольника OBQ находим, что 
Пусть AN = x. Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 3, значит, AM = 3x , MN = 2x.
Отрезки MC , CK и CN равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, значит, 
откуда 
В прямоугольном треугольнике ABK находим неизвестный катет:
В прямоугольном треугольнике SBK по теореме Пифагора имеем
; 
Ответ: 32.
Приведем примечание Киры Ананьиной.
Заменим, что в прямоугольном треугольнике ABK 
следовательно, угол BAK равен 30 градусов, а угол BAC равен 60 градусов. Следовательно, треугольник ABC равносторонний, и центр описанной вокруг него окружности совпадает с центром вписанной в него окружности. Таким образом, точки S и O совпадут.