Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Рассмотрим треугольники AEH и AFG, они прямоугольные, угол FAG — общий, следовательно, эти треугольники подобны:
Откуда получаем, что 
Из треугольника AEH по теореме Пифагора найдем 
Рассмотрим треугольники AEH и ABK, они прямоугольные, угол BAK — общий, следовательно, они подобны: 
Найдем длину отрезка 
Найдем длину отрезка 
Заметим, что прямая BC перпендикулярна прямой AG, как общая касательная к исходным окружностям. Найдем площадь треугольника 
Найдем радиус описанной около треугольника 
окружности:
Ответ: 992,25.
Приведем другое решение.
Проведем построение, как показано на рисунке. Обозначим угол FAG, равный углу GAC как
Обозначим радиус первой окружности как 
а радиус большей окружности как 
Проведем прямую HD перпендикулярно FG.
Отрезки EB и BK равны по свойству касательных, аналогично равны отрезки BK и BF. Заметим, что AK — биссектриса, медиана и высота в треугольнике ABC. Следовательно, 
Прямые HE и GF перпендикулярны прямой AF как радиусы проведенные в точку касания. Рассмотрим четырехугольник EFDH, стороны EH и FG параллельны как прямые перпендикулярные третьей прямой. Прямые EF и HD перпендикулярны по построению, следовательно, EFDH — параллелограмм. Более того, заметим, что из 
и 
следует, что EFDH — прямоугольник. Значит,
Рассмотрим прямоугольный треугольник HDG, 
Рассмотрим треугольники AFG и HDG, они прямоугольные, угол G — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
Найдем синус угла DHG:
Откуда 
Найдем радиус окружности, описанной около треугольника ABC:
Ответ: 992,25.
Приведем другое решение.
Проведем построения, как показано на рисунке. Пусть радиус меньшей окружности равен r, а радиус большей окружности равен
Рассмотрим треугольники AFG и AEH, они прямоугольные, угол FAG — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда
Прямая AK — биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника, поэтому AK перпендикулярна прямой BC Рассмотрим треугольники BHK и CHK, они прямоугольные, 
HK — общая, следовательно, треугольники BHK и CHK равны, откуда 
Найдем тангенс угла 
Из прямоугольного треугольника 
Найдем синус угла 
Радиус окружности, описанный около треугольника
