Ре­ше­ние. Про­ве­дем ра­ди­ус AH в точку ка­са­ния. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Ответ: 40.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. От­ме­тим точки, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей от­ку­да по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные к окруж­но­сти из одной точки, равны, по­это­му сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный. От­ку­да Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, зна­чит, дуга AB равна 108°. Угол AOB  — цен­траль­ный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, равен 108°. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB, он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 36.

При­ве­дем ре­ше­ние Юрия Пет­ро­ви­ча Кра­вчен­ко.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные к окруж­но­сти из одной точки, равны, по­это­му сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный. От­ку­да Ка­са­тель­ная пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, про­ве­ден­но­му в точку ка­са­ния, сле­до­ва­тель­но, Тогда

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ние и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и HOB, они пря­мо­уголь­ные, OH  — общая, AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем длину от­рез­ка

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Если из точки, ле­жа­щей вне окруж­но­сти, про­ве­де­ны ка­са­тель­ная и се­ку­щая, то квад­рат длины ка­са­тель­ной равен про­из­ве­де­нию се­ку­щей на ее внеш­нюю часть: по­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Так как хорды AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, по свой­ству хорд: зна­чит

Ответ: 25.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Впи­сан­ные углы ABD и ACD опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу AD, зна­чит, они равны. Углы BPA и CPD равны как вер­ти­каль­ные. Тогда тре­уголь­ни­ки BPA и CPD по­доб­ны по двум углам. В по­доб­ных тре­уголь­ни­ках со­от­вет­ствен­ные сто­ро­ны про­пор­ци­о­наль­ны

тогда

Ре­ше­ние. Пусть точка O  — центр окруж­но­сти. Угол AOB  — цен­траль­ный и равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Зна­чит, угол AOB равен 72°. Тре­уголь­ник AOB  — рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит,

Таким об­ра­зом, по­сколь­ку угол OBC пря­мой, угол ABC равен 90° − 54°  =  36°.

Ответ: 36.

При­ме­ча­ние.

Чи­та­те­ли, зна­ко­мые с тео­ре­мой «Угол между хор­дой и ка­са­тель­ной равен по­ло­ви­не дуги, стя­ги­ва­е­мой хор­дой», могут ре­шить эту за­да­чу в одно дей­ствие: ∠ABC  =  72° : 2  =  36°.