Ре­ше­ние. Со­еди­ним от­рез­ком точки O и B; по­лу­чен­ный от­ре­зок  — ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, по­это­му OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AB. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та OB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB: по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен 5 см.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Най­дем от­ре­зок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, тре­уголь­ник AOD  — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем: Тре­уголь­ник AOC  — рав­но­бед­рен­ный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким об­ра­зом, AC = AD·2 = 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем ра­ди­у­сы OA и OB. Так как по усло­вию за­да­чи хорда AB равна ра­ди­у­су, то тре­уголь­ник AOB  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, все его углы равны 60°. Угол AOB  — цен­траль­ный и равен 60° Угол ACB  — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и угол AOB. Таким об­ра­зом,

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный пря­мой угол опи­ра­ет­ся на диа­метр окруж­но­сти, по­это­му ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной во­круг пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Тогда ра­ди­ус окруж­но­сти равен 35 : 2  =  17,5.

Ответ: 17,5.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ние и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и HOB, они пря­мо­уголь­ные, OH  — общая, AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти:

Диа­метр равен двум ра­ди­у­сам, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что длины дуг от­но­сят­ся так же, как их гра­дус­ные меры. Пусть пер­вая дуга имеет гра­дус­ную меру тогда вто­рая дуга имеет гра­дус­ную меру а тре­тья  — Три дуги в сумме со­став­ля­ют окруж­ность, по­это­му по­лу­ча­ем:

По­это­му мень­шая дуга окруж­но­сти равна Угол тре­уголь­ни­ка, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги: Мень­ший угол тре­уголь­ни­ка лежит про­тив мень­шей сто­ро­ны. Най­дем ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти:

Ответ: 14.

При­ме­ча­ние.

Ра­ди­ус окруж­но­сти можно было найти дру­гим спо­со­бом. За­ме­тим, что мень­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка стя­ги­ва­ет мень­шую из дуг, рав­ную 60°. Длина хорды, стя­ги­ва­ю­щей дугу в 60°, равна ра­ди­у­су окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус окруж­но­сти равен 14.

Ре­ше­ние. Угол, об­ра­зо­ван­ный хор­дой и ка­са­тель­ной равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, по­это­му ве­ли­чи­на дуги MK равна 2 · 83°  =  166°. Угол MOK  — цен­траль­ный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Зна­чит, угол MOK равен 166°. В тре­уголь­ни­ке OMK сто­ро­ны OK и OM равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, по­это­му тре­уголь­ник OMK  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­нии равны. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му ∠OKM = ∠OMK  =  (180° − ∠KOM)/2  =  (180° − 166°)/2  =  7°.

Ответ: 7.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем угол OKM: OKM = 90° − 83°  =  7°. Тре­уголь­ник OMK  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му угол OMK равен углу OKM и равен 7°

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и BOH, они пря­мо­уголь­ные, сто­ро­ны AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, OH  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOH и HOB равны. От­ку­да Ана­ло­гич­но, равны тре­уголь­ни­ки COK и KOD, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOH, най­дем OB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник OKD, он пря­мо­уголь­ный, из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем

Таким об­ра­зом,

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и BOH, они пря­мо­уголь­ные, сто­ро­ны AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, OH  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOH и HOB равны. От­ку­да Ана­ло­гич­но, равны тре­уголь­ни­ки COK и KOD, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOH, най­дем OB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник OKD, он пря­мо­уголь­ный, из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем

Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD равно 9.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке ка­са­ния. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Най­дем

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем ра­ди­ус AH в точку ка­са­ния. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Ответ: 40.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. От­ме­тим точки, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и се­ку­щей от­ку­да по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные к окруж­но­сти из одной точки, равны, по­это­му сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный. От­ку­да Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, зна­чит, дуга AB равна 108°. Угол AOB  — цен­траль­ный, по­это­му он равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, равен 108°. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB, он рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 36.

При­ве­дем ре­ше­ние Юрия Пет­ро­ви­ча Кра­вчен­ко.

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные к окруж­но­сти из одной точки, равны, по­это­му сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный. От­ку­да Ка­са­тель­ная пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, про­ве­ден­но­му в точку ка­са­ния, сле­до­ва­тель­но, Тогда

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ние и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и HOB, они пря­мо­уголь­ные, OH  — общая, AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем длину от­рез­ка

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на квад­ра­та равна диа­мет­ру впи­сан­ной в него окруж­но­сти, зна­чит, пло­щадь дан­но­го квад­ра­та равна:

Ответ: 6084.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем ра­ди­у­сы OB и OC в точки ка­са­ния. Тре­уголь­ни­ки AOB и AOC  — пря­мо­уголь­ные, где R  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Ги­по­те­ну­за AO этих тре­уголь­ни­ков  — общая, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. Тогда равны углы:

Из тре­уголь­ни­ка AOB най­дем ра­ди­ус OB:

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние.

Длину от­рез­ка OB можно найти без ис­поль­зо­ва­ния си­ну­са угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO катет OB лежит на­про­тив угла в 30°, сле­до­ва­тель­но, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AO:

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции. По­это­му вы­со­та равна 32.

Ответ: 32.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в квад­рат окруж­но­сти вдвое мень­ше ее сто­ро­ны. Сто­ро­на квад­ра­та равна Пусть a  — сто­ро­на квад­ра­та. Тогда диа­го­наль квад­ра­та равна

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг квад­ра­та окруж­но­сти равен по­ло­ви­не его диа­го­на­ли. По­это­му Сто­ро­на квад­ра­та вдвое боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной в него окруж­но­сти. По­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в квад­рат окруж­но­сти вдвое мень­ше сто­ро­ны квад­ра­та. Он равен 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, зна­чит, все его углы равны по 60°. По тео­ре­ме си­ну­сов: зна­чит

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем ре­ше­ние с ис­поль­зо­ва­ни­ем при­ве­ден­ной в спра­воч­ных ма­те­ри­а­лах к эк­за­ме­ну фор­му­лы, свя­зы­ва­ю­щей сто­ро­ну рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка и ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти:

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник окруж­но­сти равен от­но­ше­нию пло­ща­ди к по­лу­пе­ри­мет­ру:

Ответ: 1.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Центр впи­сан­ной окруж­но­сти на­хо­дит­ся в точке пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке бис­сек­три­сы яв­ля­ют­ся также ме­ди­а­на­ми и вы­со­та­ми. Пусть бис­сек­три­са (она же ме­ди­а­на и вы­со­та), про­ве­ден­ная из вер­ши­ны C, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке H. Най­дем CH из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ACH:

Ме­ди­а­ны точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся в от­но­ше­нии 2:1, сле­до­ва­тель­но,

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся при­ве­ден­ной в спра­воч­ных ма­те­ри­а­лах фор­му­лой, свя­зы­ва­ю­щий сто­ро­ну пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка и ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник: тогда

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

зна­чит,

Ответ: 15.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна 3 ра­ди­у­сам впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му она равна 15.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, зна­чит, все углы равны по 60°. Тогда

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке а по усло­вию По­это­му длина сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, зна­чит, все углы равны по 60°. По тео­ре­ме си­ну­сов: зна­чит

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Если из точки, ле­жа­щей вне окруж­но­сти, про­ве­де­ны ка­са­тель­ная и се­ку­щая, то квад­рат длины ка­са­тель­ной равен про­из­ве­де­нию се­ку­щей на ее внеш­нюю часть: по­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Так как хорды AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, по свой­ству хорд: зна­чит

Ответ: 25.

Ре­ше­ние. Пусть точка O  — центр окруж­но­сти. Угол AOB  — цен­траль­ный и равен дуге, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Зна­чит, угол AOB равен 72°. Тре­уголь­ник AOB  — рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит,

Таким об­ра­зом, по­сколь­ку угол OBC пря­мой, угол ABC равен 90° − 54°  =  36°.

Ответ: 36.

При­ме­ча­ние.

Чи­та­те­ли, зна­ко­мые с тео­ре­мой «Угол между хор­дой и ка­са­тель­ной равен по­ло­ви­не дуги, стя­ги­ва­е­мой хор­дой», могут ре­шить эту за­да­чу в одно дей­ствие: ∠ABC  =  72° : 2  =  36°.

Ре­ше­ние. Пусть a  — сто­ро­на квад­ра­та. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около квад­ра­та, равен

Тогда сто­ро­на квад­ра­та равна

Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти (r) равен по­ло­ви­не сто­ро­ны квад­ра­та. По­лу­ча­ем:

Ответ: 44.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции. По­это­му вы­со­та равна 24.

Ответ: 24.