На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку K. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BKC и AKD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

Вы­со­ты AA₁ и BB₁ ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что углы AA₁B₁ и ABB₁ равны.

В окруж­но­сти с цен­тром О про­ве­де­ны две хорды АВ и CD так, что цен­траль­ные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ОК и OL. До­ка­жи­те, что ОК и OL равны.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках P и Q пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках K и L, при­чем точки P и Q лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой KL. До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и KL пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­ли про­из­воль­ную точку E. До­ка­жи­те, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEB и CED равна по­ло­ви­не пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма.

Точка K  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны CD тра­пе­ции ABCD. До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка KAB равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA₁ и BB₁. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки A₁CB₁ и ACB по­доб­ны.

В окруж­но­сти через се­ре­ди­ну O хорды AC про­ве­де­на хорда BD так, что дуги AB и CD равны. До­ка­жи­те, что O  — се­ре­ди­на хорды BD.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки A, C, точка пе­ре­се­че­ния высот H и центр впи­сан­ной окруж­но­сти I лежат на одной окруж­но­сти. До­ка­жи­те, что угол ABC равен 60° .

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках P и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внут­ри дру­гой. Внут­рен­няя общая ка­са­тель­ная к этим окруж­но­стям делит от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий их цен­тры, в от­но­ше­нии a:b. До­ка­жи­те, что диа­мет­ры этих окруж­но­стей от­но­сят­ся как a:b.

Дан пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник. До­ка­жи­те, что если его вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квад­рат.

Из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность и что про­дол­же­ния сто­рон AD и BC че­ты­рех­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки KAB и KCD по­доб­ны.

Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и CD в точ­ках P и T со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что BP  =  DT.

На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны (см. рис.). Ока­за­лось, что углы АDB и BEC тоже равны. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВС  — рав­но­бед­рен­ный.

В окруж­но­сти с цен­тром O про­ве­де­ны две рав­ные хорды и MN. На эти хорды опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры OH и OS. До­ка­жи­те, что OH и OS равны.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол равен 36°,   — бис­сек­три­са. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный.

Сто­ро­на BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вдвое боль­ше сто­ро­ны CD. Точка L  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что DL  — бис­сек­три­са угла CDA.

В окруж­но­сти через се­ре­ди­ну O хорды BD про­ве­де­на хорда AC так, что дуги AB и CD равны. До­ка­жи­те, что O  — се­ре­ди­на хорды AC.

В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры ВЕ и DF к диа­го­на­ли АС (см. рис.). До­ка­жи­те, что ВFDЕ  — па­рал­ле­ло­грамм.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках E и F пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, при­чем точки E и F лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. До­ка­жи­те, что CD ⊥ EF.

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K  — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MNK  — рав­но­сто­рон­ний.

В па­рал­ле­ло­грам­ме KLMN точка B  — се­ре­ди­на сто­ро­ны KN. Из­вест­но, что BL  =  BM. До­ка­жи­те, что дан­ный па­рал­ле­ло­грамм  — пря­мо­уголь­ник.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD углы ABD и ACD равны. До­ка­жи­те, что углы DAC и DBC также равны.