математика
Математика
Информатика
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 25 № 340854

В тре­уголь­ни­ке ABC с тупым углом ACB про­ве­де­ны вы­со­ты AA1 и BB1. Докажите, что тре­уголь­ни­ки A1CB1 и ACB подобны.

Решение.

Поскольку угол ACB тупой, ос­но­ва­ния высот A1 и B1 будут ле­жать на про­дол­же­ни­ях сто­рон BC и AC соответственно. Диа­го­на­ли четырёхугольника AA1B1B пересекаются, по­это­му он выпуклый. По­сколь­ку ∠AA1B = ∠AB1B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA1B и AB1B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырёхугольника AA1B1B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠AB1A1 и ∠ABA1 равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу A1A. Аналогично, ∠BA1B1 = ∠BAB1. Значит, ука­зан­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам.

 

Укажем общую теорему.

Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла.

 

См. также.

Аналогичное задание с остроугольным треугольником: 340341.


Аналоги к заданию № 340854: 357100 357101 Все