Проведём отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT — средняя линия треугольника APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и TP = BP. Обозначим площадь треугольника BKP через . Тогда площадь треугольника KPС, имеющего ту же высоту и вдвое больше основание, равна . Значит, площадь треугольника CKB равна и равна площади треугольника СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вершины С, и равные основания), которая в свою очередь равна площади треугольника AMK. Площадь треугольника АВК равна площади треугольника АМК. Итак,         Значит,

Ответ: 0,6.

Пусть тогда так как по свойству биссектрисы. Значит,

Пусть S — площадь треугольника ABC, тогда

Таким образом,

Ответ: 36.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит, У треугольников и высота, проведенная к стороне общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания и откуда:

Проведём прямую параллельную Точка — середина следовательно, — средняя линия треугольника значит, По теореме Фалеса для угла находим: а так как получаем, что

Стороны треугольников и сонаправлены, их площади относятся как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому

то есть откуда

Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:

Ответ:

Медиана KM разбивает треугольник AKC на два равновеликих треугольника — пусть их площади равны по 3S. Поскольку получаем, что

Пусть и Тогда отсюда Далее, а тогда то есть и

Получаем, что

Ответ: 49 : 81.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Здесь AC — по­ло­же­ние «жу­рав­ля» до опус­ка­ния, BD — по­ло­же­ние после опус­ка­ния, AH — вы­со­та, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, CK — вы­со­та, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длин­но­го.

В рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ках AOB и COD углы AOB и COD, про­ти­во­ле­жа­щие ос­но­ва­ни­ям, равны как вер­ти­каль­ные, по­это­му равны и углы при их ос­но­ва­ни­ях. Тем самым, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, и

На­крест ле­жа­щие углы 1 и 2, об­ра­зо­ван­ные при пе­ре­се­че­нии се­ку­щей BD пря­мых AB и CD, равны, по­это­му пря­мые AB и CD па­рал­лель­ны. Тогда сто­ро­ны углов 3 и 4 по­пар­но па­рал­лель­ны, а зна­чит, эти углы равны.

Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AHB и CDK по­доб­ны, по­сколь­ку имеют рав­ные ост­рые углы. Имеем:

Ответ: 1,5.

При­ме­ча­ние ре­дак­ции Решу ОГЭ.

Од­на­ж­ды это за­да­ние было пред­ло­же­но на ре­пе­ти­ци­он­ном эк­за­ме­не в ка­че­стве за­да­ния 15. Ви­ди­мо, со­ста­ви­те­ли ва­ри­ан­та (и, на­вер­ное, ав­то­ры из ФИПИ) хо­те­ли дать за­да­ние, ана­ло­гич­ное про­сто­му за­да­нию о шлаг­бау­ме (по­смот­реть). Сле­ду­ет по­ни­мать, что и жу­равль, и шлаг­баум вра­ща­ют­ся во­круг точки за­креп­ле­ния по окруж­но­сти, но в за­да­че со шлаг­бау­мом в усло­вии дан ри­су­нок, из ко­то­ро­го можно по­нять, что ав­то­ры по­ни­ма­ют под сло­ва­ми «конец плеча под­ни­мет­ся на вы­со­ту». В этой за­да­че с ко­лод­цем ри­сун­ка в усло­вии нет, по­это­му по­ни­мать ее иначе, чем на­пи­са­но в нашем ре­ше­нии, не­кор­рект­но. Но в этом слу­ча­ет, это от­нюдь не про­стая за­да­ча, по­это­му мы по­ме­ща­ем ее под но­ме­ром 26.

Проведём отрезок параллельный вспомним, что точка — середина следовательно, — средняя линия треугольника значит, Аналогично — средняя линия треугольника то есть

Пусть площадь треугольника равна Рассмотрим треугольник он имеет общую высоту с треугольником и вдвое большее основание, следовательно, его площадь равна Площадь треугольника равна и такую же площадь имеет треугольник поскольку они имеют одну высоту, проведённую из вершины и равные основания. Аналогично площадь треугольника равна площади треугольника а площадь треугольника равна площади треугольника

Подведём итог:

Отношение площади четырёхугольника к площади четырёхугольника

Ответ:

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:

Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:

Откуда Выразим площадь треугольника

Найдём отношение площади четрёхугольника к площади треугольника

Ответ:

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому Биссектриса делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:

Откуда Рассмотрим треугольник — биссектриса, следовательно:

Откуда Выразим площадь треугольника

Найдём отношение площади треугольника к площади четырёхугольника

Ответ:

Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведём медиану и высоту Тогда

В прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы поэтому

Следовательно,

Ответ: 15°, 75° .

Пусть — точка пересечения отрезков и (см. рис.). Треугольник  — равнобедренный, так как его биссектриса является высотой. Поэтому

По свойству биссектрисы треугольника

Проведём через вершину прямую, параллельную . Пусть — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы . Тогда поскольку треугольники BDK и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из подобия треугольников и следует, что Поэтому и Следовательно

Ответ:

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка, по­это­му Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сто­ро­нам, то есть:

От­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник — бис­сек­три­са, сле­до­ва­тель­но:

От­ку­да Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка

Ответ:

Рассмотрим подобные треугольники ABC и и установим соответствие между их углами. —наибольшая сторона треугольника а значит, — наибольший угол треугольника Так как в треугольнике есть тупой угол то в треугольнике это угол Следовательно, угол треугольника не равен углу треугольника Он также не равен углу т. к. больше его (луч проходит между лучами и ). Следовательно, . По теореме косинусов в треугольнике имеем:

Ответ:

Проведем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:

Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:

Складывая два получившихся равенства, получаем:

Таким образом, периметр треугольника равен 1230.

Ответ: 1230.

Из вершины C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведём медиану CM и высоту CH. Тогда

В прямоугольном треугольнике CHM катет CH равен половине гипотенузы CM, поэтому Треугольник ACM — равнобедренный, следовательно, Значит, угол B исходного треугольника равен 15°.

Ответ: 15°, 75°.

По свойству медианы, медиана делит треугольник на два равновеликих, т.е. . Из условия известно, что . Следовательно,

Ответ: 0,15

Проведем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:

Рассмотрим треугольник — биссектриса, по свойству биссектрисы:

Складывая два получившихся равенства, получаем:

Таким образом, периметр треугольника равен 72.

Ответ: 72.

Пусть — точка пересечения отрезков и (см. рис.). Треугольник  — равнобедренный, так как его биссектриса является высотой. Поэтому

По свойству биссектрисы треугольника

Проведём через вершину прямую, параллельную . Пусть — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы . Тогда

Из подобия треугольников и следует, что Поэтому и Следовательно

Ответ: ; ;