Проведём от­ре­зок MT, па­рал­лель­ный AP. Тогда MT — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка APC и CT = TP, а KP — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BMT и TP = BP. Обо­зна­чим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BKP через . Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка KPС, име­ю­ще­го ту же вы­со­ту и вдвое боль­ше основание, равна . Зна­чит пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKB равна и равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вер­ши­ны С, и рав­ные рав­ные основания), ко­то­рая в свою оче­редь равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AMK. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВК равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АМК. Итак,         Значит,

Ответ: 0,6.

Пусть AK=KC=3x, тогда AB=2x, так как по свой­ству биссектрисы. Значит,

Пусть S - пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

Таким образом,

Ответ: 36.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит, У треугольников и высота, проведенная к стороне общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания и откуда:

Проведём прямую параллельную Точка — середина следовательно, — средняя линия треугольника значит, По теореме Фалеса для угла находим: а так как получаем, что

Стороны треугольников и сонаправлены, их площади относятся как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому

то есть откуда

Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Здесь AC — по­ло­же­ние «журавля» до опускания, BD — по­ло­же­ние после опускания, AH — высота, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча, CK — высота, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длинного.

В рав­но­бед­рен­ных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD, про­ти­во­ле­жа­щие основаниям, равны как вертикальные, по­это­му равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, и

Накрест ле­жа­щие углы 1 и 2, об­ра­зо­ван­ные при пе­ре­се­че­нии секущей BD пря­мых AB и CD, равны, по­это­му пря­мые AB и CD параллельны. Тогда сто­ро­ны углов 3 и 4 по­пар­но па­рал­лель­ны, а значит, эти углы равны.

Следовательно, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AHB и CDK подобны, по­сколь­ку имеют рав­ные ост­рые углы. Имеем:

Ответ: 1,5.

Примечание 1.

Можно при­ве­сти не­сколь­ко иное до­ка­за­тель­ство по­до­бия тре­уголь­ни­ков и . На приведённой ниже кар­тин­ке есть два ма­лень­ких тре­уголь­ни­ка обо­зна­чен­ные и Они пря­мо­уголь­ные и одна пара углов равна друг другу как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных прямых. Поэтому они подобны.

Затем, можно заметить, что у тре­уголь­ни­ков и со­от­вет­ствен­ные углы равны друг другу (по­то­му, что их сто­ро­ны параллельны), следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны. Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ка­ми и Из трёх пар по­до­бий этих тре­уголь­ни­ков следует, что тре­уголь­ни­ки и подобны.

Примечание 2.

Однажды это задание было предложено на репетиционном экзамене в качестве задания 15. Видимо, составители варианта (и, наверное, авторы из ФИПИ) хотели создать задание, аналогичное простому заданию о шлагбауме (посмотреть). Но в задаче со шлагбаумом в условии дан рисунок, из которого можно понять, что авторы понимают под словами «конец плеча поднимется на высоту». В этой задаче с колодцем рисунка в условии нет, поэтому понимать ее иначе, чем написано в решении, некорректно.

Проведём от­ре­зок па­рал­лель­ный вспомним, что точка — се­ре­ди­на сле­до­ва­тель­но, — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка зна­чит Ана­ло­гич­но — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка то есть

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Рас­смот­рим тре­уголь­ник он имеет общую вы­со­ту с тре­уголь­ни­ком и вдвое боль­шее основание, сле­до­ва­тель­но его пло­щадь равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна и такую же пло­щадь имеет тре­уголь­ник по­сколь­ку они имеют одну высоту, проведённую из вер­ши­ны и рав­ные основания. Ана­ло­гич­но пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка а пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

Подведём итог:

Отношение пло­ща­ди четырёхугольника к пло­ща­ди четырёхугольника

Ответ:

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сторонам, то есть:

Откуда Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, следовательно:

Откуда Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди четрёхуголь­ни­ка к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка

Ответ:

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сторонам, то есть:

Откуда Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, следовательно:

Откуда Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка к пло­ща­ди четырёхугольника

Ответ:

Из вер­ши­ны пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка проведём ме­ди­а­ну и вы­со­ту Тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы по­это­му

Следовательно,

Ответ: 15°, 75° .

Пусть — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков и (см. рис.). Тре­уголь­ник  — равнобедренный, так как его бис­сек­три­са яв­ля­ет­ся высотой. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы треугольника

Проведём через вер­ши­ну прямую, па­рал­лель­ную . Пусть — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны . Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и следует, что По­это­му и Следовательно

Ответ: ; ;

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких треугольника, по­это­му Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сторонам, то есть:

Откуда Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, следовательно:

Откуда Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка к пло­ща­ди четырёхугольника

Ответ:

Рассмотрим по­доб­ные треугольники и и уста­но­вим соответствие между их углами. —наибольшая сто­ро­на треугольника а значит, — наи­боль­ший угол тре­уголь­ни­ка Так как в тре­уголь­ни­ке есть тупой угол то в тре­уголь­ни­ке это угол Следовательно, угол тре­уголь­ни­ка не равен углу тре­уголь­ни­ка Он также не равен углу т. к. боль­ше его (луч про­хо­дит между лу­ча­ми и ). Следовательно, . По тео­ре­ме косинусов в тре­уголь­ни­ке имеем:

Ответ:

Проведем по­стро­е­ния и введём обозначения как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

Рассмотрим тре­уголь­ник — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

Складывая два по­лу­чив­ших­ся равенства, получаем:

Таким образом, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 1230.

Ответ: 1230.

Из вер­ши­ны пря­мо­го угла пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка проведём ме­ди­а­ну и вы­со­ту Тогда

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы по­это­му

Следовательно,

Ответ: 15°, 75° .

По свойству медианы, медиана делит треугольник на два равновеликих, т.е. . Из условия известно, что . Следовательно,

Ответ: 0,15

Проведем по­стро­е­ния и введём обозначения как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ник — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

Рассмотрим тре­уголь­ник — биссектриса, по свой­ству биссектрисы:

Складывая два по­лу­чив­ших­ся равенства, получаем:

Таким образом, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка равен 72.

Ответ: 72.

Пусть — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков и (см. рис.). Тре­уголь­ник  — равнобедренный, так как его бис­сек­три­са яв­ля­ет­ся высотой. По­это­му

По свой­ству бис­сек­три­сы треугольника

Проведём через вер­ши­ну прямую, па­рал­лель­ную . Пусть — точка пе­ре­се­че­ния этой пря­мой с про­дол­же­ни­ем ме­ди­а­ны . Тогда

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и следует, что По­это­му и Следовательно

Ответ: ; ;