Проведём отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT — средняя линия треугольника APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и TP = BP. Обозначим площадь треугольника BKP через . Тогда площадь треугольника KPС, имеющего ту же высоту и вдвое больше основание, равна . Значит, площадь треугольника CKB равна и равна площади треугольника СMK (треугольники имеют одну высоту, проведённую из вершины С, и равные основания), которая в свою очередь равна площади треугольника AMK. Площадь треугольника АВК равна площади треугольника АМК. Итак,         Значит,

Ответ: 0,6.

Пусть тогда так как по свойству биссектрисы. Значит,

Пусть S — площадь треугольника ABC, тогда

Таким образом,

Ответ: 36.

Пусть площадь треугольника равна Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, значит, У треугольников и высота, проведенная к стороне общая, поэтому площади этих треугольников относятся как их основания и откуда:

Проведём прямую параллельную Точка — середина следовательно, — средняя линия треугольника значит, По теореме Фалеса для угла находим: а так как получаем, что

Стороны треугольников и сонаправлены, их площади относятся как произведение отношений сонаправленных сторон, поэтому

то есть откуда

Тем самым, для искомого отношения площадей имеем:

Ответ:

Медиана KM разбивает треугольник AKC на два равновеликих треугольника — пусть их площади равны по 3S. Поскольку получаем, что

Пусть и Тогда отсюда Далее, а тогда то есть и

Получаем, что

Ответ: 49 : 81.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Здесь AC — положение «журавля» до опускания, BD — положение после опускания, AH — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, CK — высота, на которую опустился конец длинного.

В равнобедренных треугольниках AOB и COD углы AOB и COD, противолежащие основаниям, равны как вертикальные, поэтому равны и углы при их основаниях. Тем самым, эти треугольники подобны по двум углам, и

Накрест лежащие углы 1 и 2, образованные при пересечении секущей BD прямых AB и CD, равны, поэтому прямые AB и CD параллельны. Тогда стороны углов 3 и 4 попарно параллельны, а значит, эти углы равны.

Следовательно, прямоугольные треугольники AHB и CDK подобны, поскольку имеют равные острые углы. Имеем:

Ответ: 1,5.

Примечание редакции Решу ОГЭ.

Однажды это задание было предложено на репетиционном экзамене в качестве задания 15. Видимо, составители варианта (и, наверное, авторы из ФИПИ) хотели дать задание, аналогичное простому заданию о шлагбауме (посмотреть). Следует понимать, что и журавль, и шлагбаум вращаются вокруг точки закрепления по окружности, но в задаче со шлагбаумом в условии дан рисунок, из которого можно понять, что авторы понимают под словами «конец плеча поднимется на высоту». В этой задаче с колодцем рисунка в условии нет, поэтому понимать ее иначе, чем написано в нашем решении, некорректно. Но в этом случает, это отнюдь не простая задача, поэтому мы помещаем ее под номером 26.