Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 25 № 315029
i

Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна S. Ме­ди­а­на делит тре­уголь­ник на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка, по­это­му S_ABM=S_BMC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S. Бис­сек­три­са делит пло­щадь тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­но при­ле­жа­щим сто­ро­нам, то есть:

дробь: чис­ли­тель: S_ABP, зна­ме­на­тель: S_APC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: AC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

От­ку­да S_ABP= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S, S_APC= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S. Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABM: AK  — бис­сек­три­са, сле­до­ва­тель­но:

дробь: чис­ли­тель: S_ABK, зна­ме­на­тель: S_AKM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: AM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

От­ку­да S_ABK= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби S_ABM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби S, S_AKM= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби S_ABM= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби S. Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка BPK:

S_BPK=S_ABP минус S_ABK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби S= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби S.

Най­дем от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKM к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM:

дробь: чис­ли­тель: S_AKM, зна­ме­на­тель: S_KPCM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: S_AKM, зна­ме­на­тель: S_BMC минус S_BPK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac3, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби S\tfrac12S минус \tfrac120S= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Ход ре­ше­ния вер­ный, все его шаги вы­пол­не­ны пра­виль­но, по­лу­чен вер­ный ответ2
Ход ре­ше­ния вер­ный, все его шаги вы­пол­не­ны пра­виль­но, но даны не­пол­ные объ­яс­не­ния или до­пу­ще­на одна вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка1
Дру­гие слу­чаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным кри­те­ри­ям0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 314866: 315029 315070 Все

Источники:
Банк за­да­ний ФИПИ;
Раздел кодификатора ФИПИ:
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026