Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади четырехугольника KPCM.
Проведем отрезок MT, параллельный AP, вспомним, что точка M, — середина AC, следовательно, отрезок MT — средняя линия треугольника APC, значит, CT = TP. Аналогично отрезок KP — средняя линия треугольника BMT, то есть BP = PT.
Пусть площадь треугольника BKP равна S. Рассмотрим треугольник KPC он имеет общую высоту с треугольником BKP и вдвое большее основание, следовательно, его площадь равна 2S. Площадь треугольника BKC равна 3S и такую же площадь имеет треугольник CMK, поскольку они имеют одну высоту, проведенную из вершины C и равные основания. Аналогично площадь треугольника CMK, равна площади треугольника AKM, а площадь треугольника AKM равна площади треугольника ABK. Подведем итог:
Отношение площади треугольника ABC к площади четырехугольника KPCM:
Ответ: 2,4.