Бис­сек­три­сы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те AB, если BC  =  40.

Окруж­ность с цен­тром на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через вер­ши­ну C и ка­са­ет­ся пря­мой AB в точке B. Най­ди­те AC, если диа­метр окруж­но­сти равен 7,5, а AB  =  2.

Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AP  =  16, а сто­ро­на BC в 1,6 раза мень­ше сто­ро­ны AB.

Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 56, а диа­го­наль равна 27. Най­ди­те пло­щадь этого пря­мо­уголь­ни­ка.

Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны, про­ве­ден­ной к сто­ро­не BC, если угол BAC равен 47°, угол BMC равен 133°,

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ны А и С тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны АВ и ВС в точ­ках К и Е со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки АЕ и СК пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.

Пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям MP и NK тра­пе­ции MNKP, про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ет ее бо­ко­вые сто­ро­ны MN и KP в точ­ках и со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те длину от­рез­ка AB, если см, см.

Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла AOE, если OE  — бис­сек­три­са угла AOC, OD  — бис­сек­три­са угла COB.

Диа­го­на­ли AC и BD тра­пе­ции ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOD и BOC равны со­от­вет­ствен­но и Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

На сто­ро­нах угла BAC и на его бис­сек­три­се от­ло­же­ны рав­ные от­рез­ки и AD. Ве­ли­чи­на угла BDC равна 160°. Опре­де­ли­те ве­ли­чи­ну угла BAC.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD длина от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го се­ре­ди­ны сто­рон AB и CD, равна од­но­му метру. Пря­мые BC и AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Най­ди­те длину от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го се­ре­ди­ны диа­го­на­лей AC и BD.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен 90°, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 3. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если AB  =  15.

Каж­дое ос­но­ва­ние AD и BC тра­пе­ции ABCD про­дол­же­но в обе сто­ро­ны. Бис­сек­три­сы внеш­них углов и этой тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке бис­сек­три­сы внеш­них углов C и D пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. Най­ди­те пе­ри­метр тра­пе­ции ABCD, если длина от­рез­ка KE равна 28.

Най­ди­те пло­щадь вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка с диа­го­на­ля­ми 8 и 5, если от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон, равны.

В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ние AD вдвое боль­ше ос­но­ва­ния ВС и вдвое боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны CD. Угол ADC равен 60°, сто­ро­на AB равна 1. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Бис­сек­три­сы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те BC, если AB  =  34.

Пря­мая AD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ме­ди­а­не ВМ тре­уголь­ни­ка АВС, делит ее по­по­лам. Най­ди­те сто­ро­ну АС, если сто­ро­на АВ равна 4.

В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH  — вы­со­та, про­ве­ден­ная к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 16, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4.

Най­ди­те от­но­ше­ние двух сто­рон тре­уголь­ни­ка, если его ме­ди­а­на, вы­хо­дя­щая из их общей вер­ши­ны, об­ра­зу­ет с этими сто­ро­на­ми углы в 30° и 90°.

Вы­со­та тре­уголь­ни­ка раз­би­ва­ет его ос­но­ва­ние на два от­рез­ка с дли­на­ми 8 и 9. Най­ди­те длину этой вы­со­ты, если из­вест­но, что дру­гая вы­со­та тре­уголь­ни­ка делит ее по­по­лам.