OГЭ–2025, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 22 № 127 Добавить в вариант

При каком значении p прямая $y= минус 2x плюс p$ имеет с параболой $y=x в квадрате плюс 2x$ ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.

Спрятать решение

Решение.

Выделим полный квадрат:

$y=x в квадрате плюс 2x=x в квадрате плюс 2x плюс 1 минус 1= левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 1$

Следовательно, искомая парабола получается сдвигом графика функции $y=x в квадрате$ на $левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка$   — см. рис.

Запишем условие наличия общей точки: $минус 2x плюс p=x в квадрате плюс 2x равносильно x в квадрате плюс 4x минус p=0.$ Прямая $y= минус 2x плюс p$ будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю:  $16 плюс 4p=0,$ откуда $p= минус 4.$ Подставив значение параметра в уравнение, находим $x= минус 2, y=0.$

Прямая $y= минус 2x минус 4$ изображена на рисунке.

Ответ: p = −4, координата точки: (−2; 0).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
График построен правильно, верно указаны все значения $p$ , при которых прямая $y= минус 2x плюс p$ имеет с параболой $y=x в квадрате плюс 2x$ ровно одну общую точку	2
График построен правильно, указаны неверные значения $p$	1
Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям	0
Максимальный балл	2

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309

Раздел кодификатора ФИПИ: Построение параболы

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь