Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1)  «Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.»— верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

2)  «Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.»  — не­вер­но, так как углы, за­клю­чен­ные между про­пор­ци­о­наль­ны­ми сто­ро­на­ми, не равны.

3)  «Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.»  — не­вер­но, так как нет вто­ро­го рав­но­го угла.

4)  «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.»  — не­вер­но, тре­уголь­ник с та­ки­ми сто­ро­на­ми яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным.

Ответ: 1.