РЕШУ ОГЭ — математика

Окружность, вписанная в многоугольник

1.  Тип 16 № 324364 Добавить в вариант

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

Окружность, круг и их элементы. Окружность, вписанная в многоугольник

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.

Решение. Пусть R и D соответственно радиус и диаметр окружности, a  — сторона квадрата. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдем площадь квадрата:

$S = a в квадрате = D в квадрате = левая круглая скобка 2R правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 умножить на 83 правая круглая скобка в квадрате = 27556.$

Ответ: 27 556.

Ответ: 27556

324364

27556

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

2.  Тип 16 № 341707 Добавить в вариант

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

Окружность, круг и их элементы. Окружность, вписанная в многоугольник

Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 7.

$S = D в квадрате = левая круглая скобка 2R правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 2 умножить на 7 правая круглая скобка в квадрате = 196.$

Ответ: 196.

Ответ: 196

341707

196

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

3.  Тип 16 № 356329 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.4 Окружность и круг

Окружность, круг и их элементы. Окружность, вписанная в многоугольник

Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

$S = pr = 25 умножить на 4 = 100.$

Ответ: 100.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что длина стороны для ответа на вопрос задачи не нужна.

Ответ: 100

356329

100

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.4 Окружность и круг

4.  Тип 16 № 356579 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

Окружность, круг и их элементы. Окружность, вписанная в многоугольник

Четырехугольник ABCD описан около окружности, AB  =  7, BC  =  10, CD  =  14. Найдите AD.

Решение. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны: $AB плюс CD = BC плюс AD,$ поэтому

$AD = AB плюс CD минус BC = 7 плюс 14 минус 10 = 11.$

Ответ: 11.

Ответ: 11

356579

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

5.  Тип 16 № 356603 Добавить в вариант

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

Окружность, круг и их элементы. Окружность, вписанная в многоугольник

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB  =  11, BC  =  6, CD  =  9. Найдите AD.

Решение. Если в трапецию можно вписать окружность, то суммы ее противолежащих сторон равны: $AB плюс CD = BC плюс AD,$ поэтому

$AD = AB плюс CD минус BC = 11 плюс 9 минус 6 = 14.$

Ответ: 14.

Ответ: 14

356603

Источник: Банк заданий ФИПИ

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.3 Многоугольники

6.  Тип 16 № 472385 Добавить в вариант

Окружность, круг и их элементы. Окружность, вписанная в многоугольник

Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а $тангенс \angle BCA = дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби .$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение. Проведем отрезок OH  — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике OHC катет OH равен $CH умножить на тангенс \angle BCA,$ а гипотенуза $OC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC = 24.$ По теореме Пифагора получим:

$CH в квадрате плюс OH в квадрате = OC в квадрате равносильно CH в квадрате плюс CH в квадрате умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 24 в квадрате равносильно$
$равносильно CH в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 576 конец дроби CH в квадрате = 576 равносильно дробь: числитель: 625, знаменатель: 576 конец дроби CH в квадрате = 576 равносильно CH в квадрате = дробь: числитель: 576 в квадрате , знаменатель: 625 конец дроби ,$ $CH в квадрате плюс OH в квадрате = OC в квадрате равносильно CH в квадрате плюс CH в квадрате умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = 24 в квадрате равносильно$
$равносильно CH в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 576 конец дроби CH в квадрате = 576 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 625, знаменатель: 576 конец дроби CH в квадрате = 576 равносильно CH в квадрате = дробь: числитель: 576 в квадрате , знаменатель: 625 конец дроби ,$

откуда $CH = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби .$ Следовательно, радиус вписанной окружности OH равен

$дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби = дробь: числитель: 168, знаменатель: 25 конец дроби = 6,72.$

Ответ: 6,72.

Приведем другое решение.

В прямоугольном треугольнике BOC:

$OB = OC умножить на тангенс \angle BCA = 24 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби = 7.$

По теореме Пифагора получим:

$BC = корень из: начало аргумента: OB в квадрате плюс OC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 7 в квадрате плюс 24 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 625 конец аргумента = 25.$

Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, вычисляется по формуле:

$OH = дробь: числитель: OB умножить на OC, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 7 умножить на 24, знаменатель: 25 конец дроби = 6,72.$

Ответ: 6,72

472385

6,72

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	324364	27556
2	341707	196
3	356329	100
4	356579	11
5	356603	14
6	472385	6,72