PDF-версии: 
Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.
Решение. Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке
В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина 
Значит, треугольник AKD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка 
Значит, 
Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен 
Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен Покажем, что отрезки GO и OH равны: 
Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда 
Аналогично, в треугольнике BKC — 
Получаем: 
откуда 
Значит, 
Отрезок GH — средняя линия трапеции, следовательно, 
откуда 
Ответ: 1; 21.
Приведем решение Сергея Пепеляева.
Пусть GH — средняя линия трапеции, а EF — отрезок, соединяющий середины оснований трапеции. Проведем из точки C прямую параллельную боковой стороне AB, пусть она пересекает основание AD в точке M. Проведем также из точки C прямую, параллельную отрезку EF, пусть она пересекает основание AD в точке N. В треугольнике MCD имеем ∠CMD = ∠BAC = 77°, ∠CDM = 13°, тогда треугольник CMD прямоугольный. Заметим, что 
тогда 
следовательно, CN — медиана прямоугольного треугольника, CN = MN.
Рассмотрим случай, когда GH = 11, EF = 10. Тогда 
откуда AD = 21, BC = 1.
Рассмотрим случай, когда GH = 10, EF = 11. Тогда 
и полученная система уравнений не имеет положительных решений.
Следовательно, основания трапеции равны 1 и 21.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда получаем, что 
Рассмотрим четырехугольник 
AB параллельно EL, BE параллельно AL, значит, ABEL — параллелограмм, откуда 
Аналогично 
то есть 
Покажем, что EF — медиана треугольника 
Медиана прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, значит, 
а 
Полусумма оснований трапеции равна средней линии:
Таким образом, 
Средняя линия KL при этом равна 
— медиана прямоугольного треугольника AOD. Поскольку медиана ON делит пополам любой отрезок с концами на сторонах AO и DO треугольника AOD и параллельный стороне AD, она пересекает основание BC также в его середине M.
следовательно, 
Получаем:
Рассмотрим четырехугольник 
Полусумма оснований трапеции равна средней линии:
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 3. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 13 и 10. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 13. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 11. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 18 и 10. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 10 и 6. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 19. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 2. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 14. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 11. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 4 и 1. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.
и 
а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции.