Углы при одном из оснований трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке K. В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина
Значит, треугольник AKD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка F. Значит,
Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен 
Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен Покажем, что отрезки GO и OH равны: 
Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда 
Аналогично, в треугольнике BKC — 
Получаем: 
откуда
Значит, 
Отрезок GH — средняя линия трапеции, следовательно,
откуда
Ответ: 2; 36.
Приведем решение Галины Рогачевой (Челябинск).
Пусть GH = 19, EF = 17. Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке K. Так как сумма углов KAD и ADK равна 90°, угол AKD — прямой, треугольник AKD — прямоугольный, следовательно, треугольник BKC также является прямоугольным. Отрезки KE, KF — медианы треугольников CKB и AKD. По свойству медианы, проведенной из вершины прямого угла, KE = CE, KF = FD.
Пусть KE = x, тогда CE = x, BC = 2x. Аналогично 
следовательно,
Так как GH — средняя линия трапеции ABCD, имеем:
откуда 
Получаем:
следовательно, BC = 2, AD = 36.