Углы при одном из оснований трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 3. Найдите основания трапеции.
Пусть ABCD — данная трапеция, AD — большее основание, K и L — середины сторон AB и CD соответственно. Сумма углов при одном из оснований равна (39° + 51°) = 90°, так что это большее основание AD. Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке O (см. рис.). Легко видеть, что ∠AOD = 180° − (39° + 51°) = 90°.
Пусть N — середина основания AD. Тогда ON — медиана прямоугольного треугольника AOD. Поскольку медиана ON делит пополам любой отрезок с концами на сторонах AO и DO треугольника AOD и параллельный стороне AD, она пересекает основание BC также в его середине M.
Значит, 
Таким образом, 
Средняя линия KL при этом равна 
Получаем, что 
Ответ: 22; 16.
Приведем решение Виктории Любимовой.
Пусть BM = x. Проведем отрезок ME параллельно AB и отрезок MF параллельно CD (точки E и F лежат на основании трапеции AD). ABME и MCDF — параллелограммы, следовательно, AE = FD = x и EN = NF = AN - x. Заметим, что ∠MEF = ∠BAD = 39° и ∠MFE = ∠CLD = 51°, тогда ∠EMF = 90° − (39° + 51°) = 90°. Следовательно, треугольник EMF прямоугольный, а MN — медиана, проведенная к гипотенузе, тогда EF = 2 · MN = 2 · 3 = 6.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, тогда
Следовательно, BC = 2 · 8 = 16, AN = 2 · 8 + 6 = 22.