Углы при одном из оснований трапеции равны 18° и 72°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции.
Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке
В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина 
Значит, треугольник AKD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка 
Значит, 
Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен 
Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен Покажем, что отрезки GO и OH равны: 
Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда 
Аналогично, в треугольнике BKC — 
Получаем: 
откуда 
Значит, 
Отрезок GH — средняя линия трапеции, следовательно, 
откуда 
Ответ: 11; 19.
Приведем другое решение.
Проведем из центра верхнего основания прямые, параллельные боковым сторонам трапеции. Углы BAL и ELM равны как соответственные при параллельных прямых. Аналогично равны углы EML и
Сумма углов в треугольнике равна 180°, откуда получаем, что 
Рассмотрим четырехугольник 
AB параллельно EL, BE параллельно AL, значит, ABEL — параллелограмм, откуда 
Аналогично 
то есть 
Покажем, что EF — медиана треугольника 
Медиана прямоугольного треугольника проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, значит, 
Заметим, что 
а 
Полусумма оснований трапеции равна средней линии:
Таким образом, получаем: 
Хочу предложить более короткое решение, но не знаю, куда,и как сюда вставить чертеж. Проводим через середину верхнего основания отрезки параллельные боковым сторонам. Медиана полученного прямоугольного треугольника равна 4, значит гипотенуза равна 8, тогда верхнее основание равно 2х, нижнее 2х+8, зная среднюю линию,находим обаоснования.
Добавили в решение.