OГЭ–2025, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 23 № 352759 Добавить в вариант

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB  =  3, AC  =  5.

Спрятать решение

Решение.

Пусть R  — длина радиуса окружности. Заметим, что $AO=AC минус OC=AC минус R.$ Проведем радиус OB. Поскольку это радиус, проведенный в точку касания, он перпендикулярен касательной, а значит, треугольник AOB  — прямоугольный. Применим теорему Пифагора:

$AO в квадрате =AB в квадрате плюс OB в квадрате равносильно левая круглая скобка AC минус R правая круглая скобка в квадрате =AB в квадрате плюс R в квадрате равносильно$
$равносильно AC в квадрате минус 2AC умножить на R плюс R в квадрате =AB в квадрате плюс R в квадрате равносильно AC в квадрате минус 2AC умножить на R=AB в квадрате равносильно R= дробь: числитель: AC в квадрате минус AB в квадрате , знаменатель: 2AC конец дроби .$ $AO в квадрате =AB в квадрате плюс OB в квадрате равносильно левая круглая скобка AC минус R правая круглая скобка в квадрате =AB в квадрате плюс R в квадрате равносильно$
$равносильно AC в квадрате минус 2AC умножить на R плюс R в квадрате =AB в квадрате плюс R в квадрате равносильно$
$равносильно AC в квадрате минус 2AC умножить на R=AB в квадрате равносильно R= дробь: числитель: AC в квадрате минус AB в квадрате , знаменатель: 2AC конец дроби .$

Подставляя известные величины, получаем:

$R= дробь: числитель: 25 минус 9, знаменатель: 2 умножить на 5 конец дроби = 1,6.$

Таким образом, диаметр окружности равен 3,2.

Ответ: 3,2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ.	2
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка.	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.	0
Максимальный балл	2

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.4 Окружность и круг;

Свойства касательных, секущих.

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь