В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль AC. Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки O до точки A и пря­мых AD и AC со­от­вет­ствен­но равны 5, 4 и 3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

В тра­пе­ции ABCD бо­ко­вая сто­ро­на AB пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию BC. Окруж­ность про­хо­дит через точки C и D и ка­са­ет­ся пря­мой AB в точке E. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки E до пря­мой CD, если AD = 14, BC = 12.

В тре­уголь­ни­ке ABC на его ме­ди­а­не BM от­ме­че­на точка K так, что BK : KM = 7 : 3 . Пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BKP к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка KPCM.

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке NPQM диа­го­наль NQ яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла PNM и пе­ре­се­ка­ет­ся с диа­го­на­лью PM в точке S. Най­ди­те NS, если из­вест­но, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка NPQM можно опи­сать окруж­ность, PQ  =  14, SQ = 4 .

Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CP. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BCP, равен 96, тан­генс угла BAC равен Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Се­ре­ди­на M сто­ро­ны AD вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка рав­но­уда­ле­на от всех его вер­шин. Най­ди­те AD, если BC  =  10, а углы B и C че­ты­рех­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 112° и 113°.

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны длины сто­рон AB  =  84, AC  =  98, точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC. Пря­мая BD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой AO, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AC в точке D. Най­ди­те CD.

Точки M и N лежат на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC на рас­сто­я­ни­ях со­от­вет­ствен­но 9 и 11 от вер­ши­ны A. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точки M и N и ка­са­ю­щей­ся луча AB, если

На сто­ро­не BC ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC (AB  ≠  AC) как на диа­мет­ре по­стро­е­на по­лу­окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая вы­со­ту AD в точке M, AD  =  27, MD  =  18, H  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC. Най­ди­те AH.

В тра­пе­ции ABCD ос­но­ва­ния AD и BC равны со­от­вет­ствен­но 49 и 21, а сумма углов при ос­но­ва­нии AD равна 90°. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точки A и B и ка­са­ю­щей­ся пря­мой CD, если AB  =  20.

В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са угла A делит вы­со­ту, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны B, в от­но­ше­нии 17 : 15, счи­тая от точки B. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, если