В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.
Продолжим стороны AB и CD до их пересечения в точке E. Угол AEC равен 90°, поскольку сумма углов EAD и EDA равна 90°. Рассмотрим треугольники AED и BEC, они прямоугольные, углы ECB и EDA равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны, откуда
Найдем длину отрезка BE:
Пусть окружность касается прямой CD в точке F, причем точка F может лежать или на стороне CD, или на ее продолжении. Отрезок OF перпендикулярен прямой CD, как радиус проведенный в точку касания, отрезки OA, OB и OF — радиусы.
Треугольник AOB — равнобедренный, отрезок OH — высота, следовательно, она является медианой и биссектрисой. Четырехугольник OHEF — прямоугольник, потому что все его углы прямые, то есть:
Ответ: 25.