Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 168.

Ре­ше­ние. Сумма углов тре­уголь­ни­ка АВС равна 180°, по­это­му угол ABC равен 180° − 30° − 50° = 100°. Сумма про­ти­во­по­лож­ных углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 180°, по­это­му 180° − 100° = 80°.

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. Так как сумма од­но­сто­рон­них углов тра­пе­ции равна 180°, в усло­вии го­во­рит­ся о сумме углов при ос­но­ва­нии. По­сколь­ку тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, углы при ос­но­ва­нии равны. Зна­чит, каж­дый из них равен 70°. Сумма од­но­сто­рон­них углов тра­пе­ции равна 180°, по­это­му боль­ший угол равен 180° − 70° = 110°.

Ответ: 110.

Ре­ше­ние. Пусть x  — мень­ший угол тра­пе­ции, а 2x  — боль­ший угол. У рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­ни­ях равны, по­это­му их сумма равна x + 2x + x + 2x = 6x. По­сколь­ку она равна 360°, на­хо­дим: х = 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD  =  18, BC = 12, AB = а ∠ABC  =  135°. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Угол ABH равен: 135° − 90° = 45°. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник ABH яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным и рав­но­бед­рен­ным. Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 18, BC = 12, AB = 6, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, где x  — число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Так как KN  — сред­няя линия тра­пе­ции, то KL и LN сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и СAD со­от­вет­ствен­но.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Сумма углов тре­уголь­ни­ка ACD равна 180°, по­это­му Так как ос­но­ва­ния тра­пе­ции па­рал­лель­ны, углы CAD и BCA равны как на­крес­тле­жа­щие. Так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, сумма ее про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, по­это­му

Ответ: 110.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку угол С равен 135°, а сумма про­ти­во­по­лож­ных углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 180°, угол А равен 45°.

Ответ: 45.

Ре­ше­ние. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. Имеем:

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­ве­дем вы­со­ту AB. За­ме­тим, что Тан­генс угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Сле­до­ва­тель­но, Тогда

По­это­му боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции равно

Ответ: 33.

Ре­ше­ние. Углы BCA и CAD равны как на­крест ле­жа­щие, то есть

В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­нии равны:

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где a и b  — ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем вы­со­ту: сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда

Тре­уголь­ник AKB пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный, тогда вы­со­та BK равна 3. От­ку­да пло­щадь тра­пе­ции равна

Ответ:

Ре­ше­ние. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции углы при ос­но­ва­ни­ях равны. Угол ABC  — тупой, а угол BAD  — ост­рый, зна­чит, ∠ABC  — боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции. Углы CAD и BCA равны как на­крест ле­жа­щие. Тогда:

Ответ: 115.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где a и b  — ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та тра­пе­ции.

Ответ: 324.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где a и b  — ос­но­ва­ния, а h  — вы­со­та тра­пе­ции.

Ответ: 270.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вто­рую вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тре­уголь­ник ABH  — пря­мо­уголь­ный, угол углы BAH и ABH равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABH  — рав­но­бед­рен­ный, В че­ты­рех­уголь­ни­ке HBCK И сле­до­ва­тель­но, он па­рал­ле­ло­грамм. Угол зна­чит, HBCK  — пря­мо­уголь­ник, от­ку­да и По­сколь­ку тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, углы BAH и CDK равны. Тре­уголь­ни­ки ABH и CDK пря­мо­уголь­ные, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. MN  — сред­няя линия, по­это­му, от­ку­да по тео­ре­ме Фа­ле­са Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABD MK  — сред­няя линия, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Пусть длина вы­со­ты тра­пе­ции равна Пло­щадь тра­пе­ции можно найти как про­из­ве­де­ние по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Вы­со­та тра­пе­ции также яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC как по­лу­про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ты в тра­пе­ции и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В че­ты­рех­уголь­ни­ке HBCK и сле­до­ва­тель­но, он па­рал­ле­ло­грамм. Угол зна­чит, HBCK  — пря­мо­уголь­ник, от­ку­да и По­сколь­ку тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, углы BAH и CDK равны. Тре­уголь­ни­ки ABH и CDK пря­мо­уголь­ные, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Из тре­уголь­ни­ка ABH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем вы­со­ту

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 88.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ты в тра­пе­ции и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В че­ты­рех­уголь­ни­ке HBCK И сле­до­ва­тель­но, он па­рал­ле­ло­грамм. Угол зна­чит, HBCK  — пря­мо­уголь­ник, от­ку­да и По­сколь­ку тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, углы BAH и CDK равны. Тре­уголь­ни­ки ABH и CDK пря­мо­уголь­ные, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Из тре­уголь­ни­ка CKD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем вы­со­ту

Рас­смот­ри тре­уголь­ник ACK, он пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 85.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть сто­ро­на тогда Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH най­дем вы­со­ту

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции как про­из­ве­де­ние по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 216.

Ре­ше­ние. Пусть углы тра­пе­ции равны α, β, γ, δ и угол Около вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°: от­ку­да Сумма смеж­ных углов в тра­пе­ции равна 180°, сле­до­ва­тель­но,

Тем самым, три не­из­вест­ных угла равны 49°, 131° и 131°.

Ответ: 49131131.

При­ме­ча­ние.

Вни­ма­тель­ный чи­та­тель за­ме­тит, что тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной. Дей­стви­тель­но, окруж­ность можно опи­сать толь­ко во­круг рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, по­сколь­ку толь­ко в этом слу­чае сумма про­ти­во­по­лож­ных углов тра­пе­ции равна 180 гра­ду­сам.

Ре­ше­ние. Пусть сто­ро­ны тра­пе­ции равны a, b, c, d. В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны: a + c  =  b + d  =  24. Длина сред­ней линии равна по­лу­сум­ме длин ос­но­ва­ний: 24/2  =  12.

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Угол ADC равен

Тра­пе­ция ABCD — рав­но­бед­рен­ная, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­ни­ях равны, то есть ∠BAD  =  ∠ADC  =  62°. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, от­ку­да из тре­уголь­ни­ка ABD по­лу­ча­ем, что

Ответ: 69.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. От­ре­зок CH  — вы­со­та. Пусть угол BCD равен 135°. Сумма смеж­ных углов тра­пе­ции, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не равна 180°, по­это­му ве­ли­чи­на угла CDA равна 180° − 135°  =  45°. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CHD най­дем вы­со­ту

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 105.

При­ме­ча­ние.

В дан­ном за­да­нии от­кры­то­го банка при­ве­ден не­кор­рект­ный ри­су­нок. За­ме­тим, что в то время как пол­ная длина AD равна 13. Сле­до­ва­тель­но, тра­пе­ция вы­гля­дит так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке спра­ва и в таком слу­чае более кор­рект­но было бы го­во­рить, что нужно ис­кать BH, а не Впро­чем, ответ за­да­чи от этого не из­ме­ня­ет­ся.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вто­рую вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABH и CKD, они пря­мо­уголь­ные, AB равно CD, BH равно CK, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Най­дем от­ре­зок Вы­со­ты BH и CK пер­пен­ди­ку­ляр­ны AD, зна­чит, они па­рал­лель­ны, BH равно CK, сле­до­ва­тель­но, HBCK  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний: Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку MN  — сред­няя линия, по­это­му От­рез­ки AM и MB равны, по тео­ре­ме Фа­ле­са по­лу­ча­ем, что Най­дем пло­щадь тра­пе­ции

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Пусть длина вы­со­ты тра­пе­ции равна Пло­щадь тра­пе­ции можно найти как про­из­ве­де­ние по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Вы­со­та тра­пе­ции также яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC как по­лу­про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 3.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ная из точки A к про­дол­же­нию сто­ро­ны BC, равна рас­сто­я­нию между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми BC и AD, и равна вы­со­те тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

По усло­вию: BC = CH = AH = 58.

Тре­уголь­ник HCD пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 203.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту BH₂.

Так как дан­ная тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная, от­рез­ки

За­ме­тим, что а так как BC и H₁H₂ па­рал­лель­ны, а BH₂ и CH₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны к BC, то BC = H₂H₁ = 7.

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

От­ре­зок H₁H₂ = BC = 4, а от­рез­ки так как тра­пе­ция рав­но­бед­рен­ная.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем сто­ро­ну CH₂ в тре­уголь­ни­ке CDH₂:

Те­перь, най­дем AC (диа­го­наль тра­пе­ции) из тре­уголь­ни­ка ACH₂:

Ответ: 15.

Ре­ше­ние. Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 54, BC = 9, AB = 27, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 378.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний: Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку MN  — сред­няя линия, по­это­му От­рез­ки AM и MB равны, по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что Най­дем пло­щадь тра­пе­ции

Ответ: 17.

Ре­ше­ние. Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 24, BC = 6, AB = 11, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 27,5.

Ре­ше­ние. Пусть дана тра­пе­ция ABCD, где AD = 63, BC = 7, AB = 18, а Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BH на сто­ро­ну AD. Най­дем синус угла из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Най­дем вы­со­ту BH:

Пло­щадь тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вто­рую вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABH и CKD, они пря­мо­уголь­ные, AB равно CD, BH равно CK, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Най­дем от­ре­зок HK: Таким об­ра­зом,

Ответ: 11.

Ре­ше­ние. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. По­это­му сред­няя линия равна

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

Ответ: 35.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной, углы при ос­но­ва­нии равны. Так как сумма од­но­сто­рон­них углов тра­пе­ции равна 180°, то боль­ший угол в тра­пе­ции

Ответ: 114.

Ре­ше­ние. Сумма углов в тра­пе­ции равна 360°, зна­чит, боль­ший угол равен

Ответ: 116.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ни­ки BOC и AOD по­доб­ны по двум углам:   — вер­ти­каль­ные,   — на­крест ле­жа­щие углы при се­ку­щей BD, BC и AD па­рал­лель­ны. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков: пред­ста­вив по­лу­чим по­это­му

Ответ: 14.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы длин ее ос­но­ва­ний и длины вы­со­ты, то есть

Ответ: 33.

Ре­ше­ние. От­рез­ки EO и OF, на ко­то­рые диа­го­наль тра­пе­ции делит сред­нюю линию, яв­ля­ют­ся сред­ни­ми ли­ни­я­ми тре­уголь­ни­ков DAB и BCD со­от­вет­ствен­но. Зна­чит, и

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABH и CKD, они пря­мо­уголь­ные, AB равно CD, BH равно CK, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Най­дем от­ре­зок HK: Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок AK равен Тре­уголь­ник AKC  — рав­но­бед­рен­ный, зна­чит,

Ответ: 3,5.

Ре­ше­ние. Тра­пе­ция ABCD  — рав­но­бед­рен­ная, сле­до­ва­тель­но, углы A и D при ос­но­ва­нии равны. Луч AC  — бис­сек­три­са, по­это­му Таким об­ра­зом, угол ACD равен 

Ответ: 78°.

Ре­ше­ние. От­ре­зок BC  — мень­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции, зна­чит, угол BCA  — ис­ко­мый. Тра­пе­ция ABCD  — рав­но­бед­рен­ная, сле­до­ва­тель­но, углы A и D при ос­но­ва­нии равны. Угол CAD равен

Углы BCA и CAD равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых BC и AD се­ку­щей AC, по­это­му

Ответ: 53.