Про­ве­дем через точку E пря­мые, па­рал­лель­ные сто­ро­нам па­рал­ле­ло­грам­ма, пе­ре­се­ка­ю­щие его сто­ро­ны AB, BC , CD и AD в точ­ках K , L, M и N со­от­вет­ствен­но. Эти пря­мые делят па­рал­ле­ло­грамм ABCD на че­ты­ре па­рал­ле­ло­грам­ма. По­сколь­ку диа­го­наль делит па­рал­ле­ло­грамм на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ем

При­ве­дем ре­ше­ние Юрия Лы­са­ко­ва.

Про­ве­дем через точку E пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную пря­мой AD, тогда эта пря­мая будет пер­пен­ди­ку­ляр­на также пря­мой BC. Пусть она пе­ре­се­ка­ет пря­мую AD в точке F, а пря­мую BC в точке G. Тогда FG  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма.

Най­дем удво­ен­ную пло­щадь тре­уголь­ни­ков BEC и AED:

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Про­ве­дем от­ре­зок KN пер­пен­ди­ку­ляр­ный сто­ро­нам AD и BC, про­хо­дя­щий через точку Е. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма Пло­щадь тре­уголь­ни­ка AED Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BEC:

По­лу­ча­ем, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AED и BEC равна:

Про­ве­дем через точку E пря­мые, па­рал­лель­ные сто­ро­нам па­рал­ле­ло­грам­ма, пе­ре­се­ка­ю­щие его сто­ро­ны AB, BC, CD и AD в точ­ках K, L, M и N со­от­вет­ствен­но. Эти пря­мые делят па­рал­ле­ло­грамм ABCD на че­ты­ре па­рал­ле­ло­грам­ма. По­сколь­ку диа­го­наль делит па­рал­ле­ло­грамм на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ем

Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­ве­дем вы­со­ту EN через точку По­сколь­ку LM  — сред­няя линия, От­рез­ки AL и BL равны, сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме Фа­ле­са, Пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCK равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKD равна Най­дем сумму пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков:

Про­ве­дем через точку F пря­мые, па­рал­лель­ные сто­ро­нам па­рал­ле­ло­грам­ма, пе­ре­се­ка­ю­щие его сто­ро­ны AB, BC , CD и AD в точ­ках K , L, M и N со­от­вет­ствен­но. Эти пря­мые делят па­рал­ле­ло­грамм ABCD на че­ты­ре па­рал­ле­ло­грам­ма. По­сколь­ку диа­го­наль делит па­рал­ле­ло­грамм на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, по­лу­ча­ем

Про­ве­дем через точку F пря­мые MN и PQ, па­рал­лель­ные сто­ро­нам па­рал­ле­ло­грам­ма (см. рис.). Эти пря­мые раз­би­ва­ют ис­ход­ный па­рал­ле­ло­грамм на че­ты­ре мень­ших, а от­рез­ки FA, FB, FC, FD яв­ля­ют­ся диа­го­на­ля­ми этих па­рал­ле­ло­грам­мов и раз­би­ва­ют каж­дый из них на рав­ные тре­уголь­ни­ки.

Пусть пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков BFN, CFN, AFM и DFM равны S₁, S₂, S₃, S₄ со­от­вет­ствен­но. Тогда пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна

а сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BFC и AFD равна что вдвое мень­ше пло­ща­ди па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.