Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 25 № 339876
i

Из вер­ши­ны пря­мо­го угла C тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на вы­со­та CP. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник BCP, равен 24, тан­генс угла BAC равен дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Угол BAC равен углу BCP так как \angle BAC=90 гра­ду­сов минус \angle ABC и \angle BCP=90 гра­ду­сов минус \angle ABC. Так как тан­генс это от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му, имеем: тан­генс \angle BCP= дробь: чис­ли­тель: BP, зна­ме­на­тель: PC конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BP, зна­ме­на­тель: PC конец дроби . Тогда BP=3x, PC=4x, а ги­по­те­ну­за BC=5x по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию по­ло­ви­ны его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти, но пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов, имеем:

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BP умно­жить на PC= дробь: чис­ли­тель: P умно­жить на r_1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 6x в квад­ра­те =6x умно­жить на 24 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=24, x=0. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, BP=72, PC=96, а BC=120. Так как тан­генс \angle BAC= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , то AC=160, а AB=200 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

В тре­уголь­ни­ке ABC пло­щадь равна про­из­ве­де­нию по­ло­ви­ны его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной в него окруж­но­сти, но пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов, имеем:

S= дробь: чис­ли­тель: P умно­жить на r, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 120 умно­жить на 160= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 480 умно­жить на r рав­но­силь­но r=40.

Ответ: r=40.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Ход ре­ше­ния вер­ный, все его шаги вы­пол­не­ны пра­виль­но, по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ход ре­ше­ния вер­ный, чертёж со­от­вет­ству­ет усло­вию за­да­чи, но про­пу­ще­ны су­ще­ствен­ные объ­яс­не­ния или до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка.1
Дру­гие слу­чаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным кри­те­ри­ям.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 130: 314862 315107 315130 ... Все

Раздел кодификатора ФИПИ: 7.4 Окруж­ность и круг
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025