OГЭ–2025, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 25 № 311713 Добавить в вариант

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины $B,$ в отношении $13 : 12,$ считая от точки $B.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если $BC = 10.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим BH высоту, проведенную из вершины $B.$ Биссектриса, проведенная из угла A, делит высоту в отношении, равному отношению AB и AH. Значит, $косинус \angle BAC = дробь: числитель: AH, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 13 конец дроби ,$ поэтому $синус \angle BAC = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$ По теореме синусов радиус описанной около треугольника ABC окружности $R= дробь: числитель: BC, знаменатель: 2 синус \angle BAC конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: 2 умножить на 5 конец дроби умножить на 13=13.$

Ответ: 13.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2
Ход решения верный, чертёж соответствует условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Источник: Пробные варианты. Московская область  — 2013, вариант 1

Раздел кодификатора ФИПИ:

7.4 Окружность и круг;

Теорема синусов.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Гость 11.01.2014 18:20

В решении идёт текст: "Значит [картинка1], поэтому [картинка2] ".

[картинка1] - это угол BAC = AH/AB = 12/13.

Ошибка в опечатке. Должно быть на картинке1: cos угла BAC {и далее по тексту}.

И можно пояснить, откуда берётся утверждение в первом предложении решения (какая теорема или свойство).

Максим Котельников

Добрый вечер. Свойство о котором Вы спрашиваете - Свойство биссектрисы треугольника: «Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.» В данном случае, мы рассматриваем прямоугольный треугольник ABH. Опечатку исправили.