По усло­вию по­это­му тре­уголь­ник BDE яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Пусть угол при ос­но­ва­нии этого тре­уголь­ни­ка равен x, тогда Тре­уголь­ни­ки BEC и BDA равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, по­это­му и тре­уголь­ник ABC  —рав­но­бед­рен­ный.

Углы AEB₁ и BEA₁ равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AEB₁ и BEA₁ по­доб­ны по двум углам, от­ку­да

Углы AEB и B₁EA₁ равны как вер­ти­каль­ные, из преды­ду­щей про­пор­ции сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки EB₁A₁ и AEB по­доб­ны, от­ку­да

См. также.

Ана­ло­гич­ное за­да­ние с ту­по­уголь­ным тре­уголь­ни­ком: 340854.

При­ме­ча­ние.

Уви­деть угол AA₁B₁ будет легче, если со­еди­нить точки A₁ и В₁.

При­ве­дем ре­ше­ние Миши Чу­при­ко­ва.

Опи­шем окруж­ность во­круг тре­уголь­ни­ка ABA₁. Угол AA₁B  — пря­мой, сле­до­ва­тель­но, он опи­ра­ет­ся на диа­метр, то есть от­ре­зок AB  — диа­метр окруж­но­сти. Угол AB₁B  — пря­мой, опи­ра­ет­ся на диа­метр, а по­то­му точка B₁ лежит на этой же окруж­но­сти. Таким об­ра­зом, углы AA₁B₁ и ABB₁ равны как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу.

По­сколь­ку ABCD вы­пук­лый и ∠ABD = ∠ACD, по­лу­ча­ем, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD можно опи­сать окруж­ность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу CD.

Точка E рав­но­уда­ле­на от C и D , по­это­му она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку CD. То же можно ска­зать и о F. Зна­чит, EF  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к CD, то есть CD ⊥ EF.

Так как точки M, N, K - се­ре­ди­ны сто­рон и тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, то от­рез­ки AM, MB, BN, NC, KC, AK равны. В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны, таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки AMK, NMB, CNK равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Тогда MN  =  MK  =  KN, зна­чит, тре­уголь­ник MNK  — рав­но­сто­рон­ний.

При­ве­дем ре­ше­ние Ксе­нии Вла­со­вой.

Точки M, N, K  — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но, сле­до­ва­тель­но, MN, MK и NK  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

По усло­вию AB  =  AC  =  BC, сле­до­ва­тель­но, NK  =  MN  =  MK, тогда тре­уголь­ник MNK рав­но­сто­рон­ний.