Ре­ше­ние. Со­еди­ним от­рез­ком точки O и B; по­лу­чен­ный от­ре­зок  — ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, по­это­му OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AB. За­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та OB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB: по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равен 5 см.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Най­дем от­ре­зок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB пер­пен­ди­ку­ля­рен AC, тре­уголь­ник AOD  — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем: Тре­уголь­ник AOC  — рав­но­бед­рен­ный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким об­ра­зом, AC = AD·2 = 6.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем ра­ди­у­сы OA и OB. Так как по усло­вию за­да­чи хорда AB равна ра­ди­у­су, то тре­уголь­ник AOB  — рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, все его углы равны 60°. Угол AOB  — цен­траль­ный и равен 60° Угол ACB  — впи­сан­ный и опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и угол AOB. Таким об­ра­зом,

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ние и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и HOB, они пря­мо­уголь­ные, OH  — общая, AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем ра­ди­ус окруж­но­сти:

Диа­метр равен двум ра­ди­у­сам, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что длины дуг от­но­сят­ся так же, как их гра­дус­ные меры. Пусть пер­вая дуга имеет гра­дус­ную меру тогда вто­рая дуга имеет гра­дус­ную меру а тре­тья  — Три дуги в сумме со­став­ля­ют окруж­ность, по­это­му по­лу­ча­ем:

По­это­му мень­шая дуга окруж­но­сти равна Угол тре­уголь­ни­ка, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги: Мень­ший угол тре­уголь­ни­ка лежит про­тив мень­шей сто­ро­ны. Най­дем ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти:

Ответ: 14.

При­ме­ча­ние.

Ра­ди­ус окруж­но­сти можно было найти дру­гим спо­со­бом. За­ме­тим, что мень­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка стя­ги­ва­ет мень­шую из дуг, рав­ную 60°. Длина хорды, стя­ги­ва­ю­щей дугу в 60°, равна ра­ди­у­су окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус окруж­но­сти равен 14.

Ре­ше­ние. Угол, об­ра­зо­ван­ный хор­дой и ка­са­тель­ной равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, по­это­му ве­ли­чи­на дуги MK равна 2 · 83°  =  166°. Угол MOK  — цен­траль­ный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Зна­чит, угол MOK равен 166°. В тре­уголь­ни­ке OMK сто­ро­ны OK и OM равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, по­это­му тре­уголь­ник OMK  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­нии равны. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му ∠OKM = ∠OMK  =  (180° − ∠KOM)/2  =  (180° − 166°)/2  =  7°.

Ответ: 7.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем угол OKM: OKM = 90° − 83°  =  7°. Тре­уголь­ник OMK  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му угол OMK равен углу OKM и равен 7°

Ре­ше­ние. Про­ве­дем ра­ди­у­сы к кон­цам хорды, пусть точка H  — ее се­ре­ди­на. Тре­уголь­ник AOB рав­но­бед­рен­ный, его ме­ди­а­на OH яв­ля­ет­ся вы­со­той, по­это­му тре­уголь­ник AOH пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от хорды до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной равно 75 + 85  =  160.

Ответ: 160.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и BOH, они пря­мо­уголь­ные, сто­ро­ны AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, OH  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOH и HOB равны. От­ку­да Ана­ло­гич­но, равны тре­уголь­ни­ки COK и KOD, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOH, най­дем OB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник OKD, он пря­мо­уголь­ный, из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем

Таким об­ра­зом,

Ответ: 48.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ния и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOH и BOH, они пря­мо­уголь­ные, сто­ро­ны AO и OB равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, OH  — общая, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AOH и HOB равны. От­ку­да Ана­ло­гич­но, равны тре­уголь­ни­ки COK и KOD, от­ку­да Рас­смот­рим тре­уголь­ник BOH, най­дем OB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник OKD, он пря­мо­уголь­ный, из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра най­дем

Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD равно 9.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Ра­ди­ус окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной в точке ка­са­ния. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AOB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Най­дем

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем ра­ди­у­сы OB и OC в точки ка­са­ния. Тре­уголь­ни­ки AOB и AOC  — пря­мо­уголь­ные, где R  — ра­ди­ус окруж­но­сти. Ги­по­те­ну­за AO этих тре­уголь­ни­ков  — общая, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны. Тогда равны углы:

Из тре­уголь­ни­ка AOB най­дем ра­ди­ус OB:

Ответ: 4.

При­ме­ча­ние.

Длину от­рез­ка OB можно найти без ис­поль­зо­ва­ния си­ну­са угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO катет OB лежит на­про­тив угла в 30°, сле­до­ва­тель­но, он равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы AO: