Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 250.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что в на­ча­ле ре­ше­ния за­да­чи не было из­вест­но, что тра­пе­ция ока­жет­ся пря­мо­уголь­ной, по­это­му на ри­сун­ке можно было бы изоб­ра­зить про­из­воль­ную тра­пе­цию. Од­на­ко в ходе ре­ше­ния за­да­чи вы­яс­ни­лось, что тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, по­это­му ри­су­нок со­от­вет­ству­ет ре­зуль­та­ту ре­ше­ния.

При­ве­дем при­ме­ча­ние Сер­гея Пе­пе­ля­е­ва.

За­ме­тим, что найти AB можно было сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Про­ве­дем MN  — сред­нюю линию тра­пе­ции. Тре­уголь­ник MND рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний тра­пе­ции, тогда

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 270.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 702.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 360.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке K. Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную AB. Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Более того, по­сколь­ку то тра­пе­ция яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ной. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 820.

Ре­ше­ние. Пусть M  — се­ре­ди­на AB (см. рис.). Про­дол­жим бис­сек­три­су DM угла ADC до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем ос­но­ва­ния BC в точке K. По­сколь­ку ∠CKD = ∠ADK = ∠CDK, тре­уголь­ник KCD рав­но­бед­рен­ный, KC  =  CD  =  35. Тогда KB  =  KC − BC  =  35 − 7  =  28.

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков AMD и BMK сле­ду­ет, что AD  =  BK  =  28. Про­ве­дем через вер­ши­ну C пря­мую, па­рал­лель­ную сто­ро­не AB, до пе­ре­се­че­ния с ос­но­ва­ни­ем AD в точке P. Тре­уголь­ник CPD пря­мо­уголь­ный, так как CD²  =  35²  =  28² + 21²  =  PC² + PD².

По­это­му CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 490.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что вывод о том, что тра­пе­ция яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ной, сде­лан в ходе ре­ше­ния. Пер­во­на­чаль­но на ри­сун­ке (на чер­но­ви­ке) можно было изоб­ра­зить про­из­воль­ную тра­пе­ция. Од­на­ко после того, как в ходе ре­ше­ния были опре­де­ле­ны свой­ства гео­мет­ри­че­ской фи­гу­ры, лучше из­ме­нить ри­су­нок, чтобы он от­ра­жал эти свой­ства. Имен­но такой ри­су­нок, на ко­то­ром изоб­ра­же­на пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция, при­ве­ден в ре­ше­нии дан­ной за­да­чи.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. Пусть M  — се­ре­ди­на AB (см. рис.). Про­дол­жим бис­сек­три­су DM угла ADC до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем ос­но­ва­ния BC в точке K. По­сколь­ку ∠CKD = ∠ADK = ∠CDK, тре­уголь­ник KCD  — рав­но­бед­рен­ный, KC  =  CD  =  29, тогда

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков AMD и BMK сле­ду­ет, что AD  =  BK  =  25.

Про­ве­дем через вер­ши­ну C пря­мую, па­рал­лель­ную сто­ро­не AB до пе­ре­се­че­ния с ос­но­ва­ни­ем AD в точке P, тогда

Тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, так как

По­это­му CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 290.

При­ве­дем ре­ше­ние Супер Гир­чи­ка.

Пусть M  — се­ре­ди­на AB, N  — се­ре­ди­на CD. Про­ве­дем сред­нюю линию MN. ∠ADM  =  ∠DMN как на­крес­тле­жа­щие, ∠ADM  =  ∠MDN, по­сколь­ку DN яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, тогда ∠MDN  =  ∠DMN, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник MND рав­но­бед­рен­ный,

Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. Най­дем ос­но­ва­ние тра­пе­ции AD:

Опу­стим из точки B пер­пен­ди­ку­ляр BQ на ос­но­ва­ние AD. Пусть AQ  =  x, тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABQ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Опу­стим из точки C пер­пен­ди­ку­ляр CT на ос­но­ва­ние AD. За­ме­тим, что TD  =  AD − x − QT  =  21 − x, тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CTD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

За­ме­тим, что BQ  =  CT, тогда

Сле­до­ва­тель­но, точка A сов­па­да­ет с точ­кой Q, зна­чит, AB ⊥ AD, то есть яв­ля­ет­ся вы­со­той тра­пе­ции. Тогда

Ре­ше­ние. Пусть M  — се­ре­ди­на AB (см. рис.). Про­дол­жим бис­сек­три­су DM угла ADC до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем ос­но­ва­ния BC в точке K. По­сколь­ку ∠CKD = ∠ADK = ∠CDK, тре­уголь­ник KCD  — рав­но­бед­рен­ный, KC  =  CD  =  41, тогда

Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков AMD и BMK сле­ду­ет, что AD  =  BK  =  25.

Про­ве­дем через вер­ши­ну C пря­мую, па­рал­лель­ную сто­ро­не AB до пе­ре­се­че­ния с ос­но­ва­ни­ем AD в точке P, тогда

Тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, так как

По­это­му CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Более того, ввиду па­рал­лель­но­сти CP и BA, тра­пе­ция яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ной. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции

Ответ: 820.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 130.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Про­дол­жим бис­сек­три­су до пе­ре­се­че­ния с пря­мой BC в точке K. Углы CKD и ADK равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Зна­чит, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CKD  — рав­но­бед­рен­ный: Най­дем BK: Углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки KMB и сто­ро­ны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вер­ти­каль­ные, углы KBM и MAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да Про­ве­дем пря­мую CP, па­рал­лель­ную AB. Пря­мая AB па­рал­лель­на CP, пря­мая AD па­рал­лель­на BC, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник ABCP  — па­рал­ле­ло­грамм, от­ку­да Най­дем PD: Рас­смот­рим тре­уголь­ник CPD, за­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник CPD  — пря­мо­уголь­ный, сле­до­ва­тель­но, CP  — вы­со­та тра­пе­ции. Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Ответ: 130.