Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Введем обозначения, как показано на рисунке. Продолжим биссектрису до пересечения с прямой BC в точке
Углы CKD и ADK равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, 
следовательно, треугольник CKD — равнобедренный: 
Найдем 
Углы KMB и AMD равны как вертикальные. Рассмотрим треугольники KMB и 
стороны AM и BM равны, углы KMB и AMD равны как вертикальные, углы KBM и MAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники равны, откуда 
Проведем прямую CP, параллельную 
Прямая AB параллельна CP, прямая AD параллельна BC, следовательно, четырехугольник ABCP — параллелограмм, откуда 
Найдем 
Рассмотрим треугольник CPD, заметим, что
Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что треугольник CPD — прямоугольный, следовательно, CP — высота трапеции. Найдем площадь трапеции:
Ответ: 250.
Примечание.
Заметим, что в начале решения задачи не было известно, что трапеция окажется прямоугольной, поэтому на рисунке можно было бы изобразить произвольную трапецию. Однако в ходе решения задачи выяснилось, что трапеция прямоугольная, поэтому рисунок соответствует результату решения.
Приведем примечание Сергея Пепеляева.
Заметим, что найти AB можно было следующим образом. Проведем MN — среднюю линию трапеции. Треугольник MND равнобедренный, следовательно, 
Средняя линия равна полусумме оснований трапеции, тогда
