РЕШУ ОГЭ — математика

Вариант № 61600084

ОГЭ по математике 23.04.2024. Досрочная волна.

1.  

i

Ваня летом отдыхает у дедушки в деревне Дивной. В пятницу они собираются съездить на велосипедах в село Ольгино в библиотеку. Из деревни Дивной в село Ольгино можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Калиновка до села Ровного, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Ольгино. Есть и третий маршрут: в Калиновке можно свернуть на прямую тропинку в село Ольгино, которая идет мимо пруда.

Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью 15 км⁠/⁠ч, а по лесной дорожке и тропинке  — со скоростью 10 км⁠/⁠ч. На плане изображено взаимное расположение населенных пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населенные пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трех цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Насел. пункты	с. Ровное	д. Калиновка	д. Дивная
Цифры

2.  

i

Ваня летом отдыхает у дедушки в деревне Дивной. В пятницу они собираются съездить на велосипедах в село Ольгино в библиотеку. Из деревни Дивной в село Ольгино можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Калиновка до села Ровного, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Ольгино. Есть и третий маршрут: в Калиновке можно свернуть на прямую тропинку в село Ольгино, которая идет мимо пруда.

Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью 15 км⁠/⁠ч, а по лесной дорожке и тропинке  — со скоростью 10 км⁠/⁠ч. На плане изображено взаимное расположение населенных пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

Сколько километров проедут Ваня с дедушкой от деревни Калиновки до села Ольгина, если они проедут по шоссе через село Ровное?

3.  

i

Ваня летом отдыхает у дедушки в деревне Дивной. В пятницу они собираются съездить на велосипедах в село Ольгино в библиотеку. Из деревни Дивной в село Ольгино можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Калиновка до села Ровного, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Ольгино. Есть и третий маршрут: в Калиновке можно свернуть на прямую тропинку в село Ольгино, которая идет мимо пруда.

Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью 15 км⁠/⁠ч, а по лесной дорожке и тропинке  — со скоростью 10 км⁠/⁠ч. На плане изображено взаимное расположение населенных пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

Найдите расстояние от деревни Калиновки до села Ольгина по прямой. Ответ дайте в километрах.

4.  

i

Ваня летом отдыхает у дедушки в деревне Дивной. В пятницу они собираются съездить на велосипедах в село Ольгино в библиотеку. Из деревни Дивной в село Ольгино можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Калиновка до села Ровного, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Ольгино. Есть и третий маршрут: в Калиновке можно свернуть на прямую тропинку в село Ольгино, которая идет мимо пруда.

Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью 15 км⁠/⁠ч, а по лесной дорожке и тропинке  — со скоростью 10 км⁠/⁠ч. На плане изображено взаимное расположение населенных пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Дивной в село Ольгино Ваня с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке.

5.  

i

Ваня летом отдыхает у дедушки в деревне Дивной. В пятницу они собираются съездить на велосипедах в село Ольгино в библиотеку. Из деревни Дивной в село Ольгино можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Калиновка до села Ровного, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Ольгино. Есть и третий маршрут: в Калиновке можно свернуть на прямую тропинку в село Ольгино, которая идет мимо пруда.

Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Ваня с дедушкой едут со скоростью 15 км⁠/⁠ч, а по лесной дорожке и тропинке  — со скоростью 10 км⁠/⁠ч. На плане изображено взаимное расположение населенных пунктов, длина стороны каждой клетки равна 1 км.

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырех магазинах, расположенных в селе Ольгине, деревне Дивной, селе Ровном и деревне Калиновке.

Наименование продукта	с. Ольгино	д. Дивная	с. Ровное	д. Калиновка
Молоко (1 л)	35	32	38	36
Хлеб (1 батон)	25	22	19	20
Сыр «Российский» (1 кг)	230	270	250	300
Говядина (1 кг)	370	420	380	350
Картофель (1 кг)	17	18	19	22

Ваня с дедушкой хотят купить 3 л молока, 0,5 кг сыра и 2 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

6.  

i

Найдите значение выражения 4,9 − 9,4.

7.  

i

На координатной прямой отмечены числа p, q и r.

Какая из разностей q − p, q − r, r − p отрицательна?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  q − p

2)  q − r

3)  r − p

4)  ни одна из них

8.  

i

Найдите значение выражения $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка .$

9.  

i

Найдите значение выражения $5 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента умножить на 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 22 конец аргумента .$

10.  

i

Решите уравнение $x в квадрате минус 8x плюс 12=0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

11.  

i

Решите уравнение $4 левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка = минус 5.$

12.  

i

У бабушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

13.  

i

Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 6 с машинами и 14 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 20 детьми, среди которых есть Володя. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с машиной.

14.  

i

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А)   $y= минус x в квадрате плюс 2x плюс 4$

Б)   $y=x в квадрате минус 2x минус 4$

B)   $y= минус x в квадрате минус 2x плюс 4$

ГРАФИКИ

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

15.  

i

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А)

Б)

В)

Формулы

$1 правая круглая скобка y= минус 2$ $2 правая круглая скобка y=x минус 2$ $3 правая круглая скобка y= минус 2x$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

16.  

i

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω  — угловая скорость (в с ⁻¹), а R  — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 8,5 с⁻¹, а центростремительное ускорение равно 650,25 м/с². Ответ дайте в метрах.

17.  

i

Укажите решение системы неравенств

$система выражений x минус 2,6 меньше или равно 0,x минус 1 больше или равно 1. конец системы .$

1)   $левая квадратная скобка 2;2,6 правая квадратная скобка$

2)   $левая круглая скобка минус бесконечность ;2,6 правая квадратная скобка$

3)   $левая круглая скобка минус бесконечность ;2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2,6; плюс бесконечность правая круглая скобка$

4)   $левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$

18.  

i

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

19.  

i

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 15 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунды?

20.  

i

В треугольнике ABC известно, что $\angle BAC=82 градусов,$ AD  — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

21.  

i

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.

22.  

i

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB Найдите угол ACB, если угол AOB равен 67°. Ответ дайте в градусах

23.  

i

Сторона квадрата равна $7 корень из 2 .$ Найдите диагональ этого квадрата.

24.  

i

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC  =  16, BD  =  20, AB  =  5. Найдите DO.

25.  

i

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

26.  

i

Какое из следующих утверждений верно?

1)  Основания любой трапеции параллельны.

2)  Тангенс любого острого угла меньше единицы.

3)  Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

27.  

i

Какое из следующих утверждений верно?

1)  Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2)  Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

3)  Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

28.  

i

Решите неравенство $дробь: числитель: минус 12, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 2 конец дроби \geqslant0.$

29.  

i

Решите уравнение $x в квадрате минус 3x плюс корень из: начало аргумента: 6 минус x конец аргумента = корень из: начало аргумента: 6 минус x конец аргумента плюс 28.$

30.  

i

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую  — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

31.  

i

Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 9 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 60 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.

32.  

i

Постройте график функции

$y= система выражений 2x плюс 1, если x меньше 0, минус 1,5x плюс 1, если 0 меньше или равно x меньше 2,x минус 4, если x больше или равно 2 конец системы$

и определите, при каких значениях прямая $y=c$ имеет с графиком ровно две общие точки.

33.  

i

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH  =  21 и CH  =  8. Найдите высоту ромба.

34.  

i

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF  =  15, BF  =  8.

35.  

i

Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырехугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

36.  

i

Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Решение. Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке $K.$ В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина $\angle AKD=180 градусов минус \angle KAD минус \angle KDA=90 градусов.$ Значит, треугольник AKD  — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности  — середина гипотенузы, то есть точка $F.$ Значит, $AF=KF=FD=R= дробь: числитель: AD, знаменатель: 2 конец дроби .$

Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF  — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен $дробь: числитель: OK, знаменатель: KF конец дроби =k.$ Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен $дробь: числитель: OK, знаменатель: KF конец дроби =k.$ Покажем, что отрезки GO и OH равны: $GO=kAF,OH=kFD=kAF=GO.$ Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O  — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда $GO=KO=OH= дробь: числитель: GH, знаменатель: 2 конец дроби .$ Аналогично, в треугольнике BKC  — $BE=KE=EC= дробь: числитель: BC, знаменатель: 2 конец дроби .$

Получаем: $OH=KO=KE плюс EO=EC плюс дробь: числитель: EF, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $EC=OH минус дробь: числитель: EF, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: GH минус EF, знаменатель: 2 конец дроби .$ Значит, $BC=2EC=GH минус EF=1.$

Отрезок GH  — средняя линия трапеции, следовательно, $GH= дробь: числитель: AD плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $AD=2GH минус BC=2 умножить на 11 минус 1=GH плюс EF=21.$

Ответ: 1; 21.

Приведем решение Сергея Пепеляева.

Пусть GH  — средняя линия трапеции, а EF  — отрезок, соединяющий середины оснований трапеции. Проведем из точки C прямую параллельную боковой стороне AB, пусть она пересекает основание AD в точке M. Проведем также из точки C прямую, параллельную отрезку EF, пусть она пересекает основание AD в точке N. В треугольнике MCD имеем ∠CMD  =  ∠BAC  =  77°, ∠CDM  =  13°, тогда треугольник CMD прямоугольный. Заметим, что $MD=AD минус BC,$ $DN=AD минус AN=AD минус дробь: числитель: AD, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: 2 конец дроби ,$ тогда $MN=ND,$ следовательно, CN  — медиана прямоугольного треугольника, CN  =  MN.

Рассмотрим случай, когда GH  =  11, EF  =  10. Тогда $дробь: числитель: AD плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби =11,$ $дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: 2 конец дроби =10,$ откуда AD  =  21, BC  =  1.

Рассмотрим случай, когда GH  =  10, EF  =  11. Тогда $дробь: числитель: AD плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби =10,$ $дробь: числитель: AD минус BC, знаменатель: 2 конец дроби =11,$ и полученная система уравнений не имеет положительных решений.

Следовательно, основания трапеции равны 1 и 21.