Угол тре­уголь­ни­ка ABC равен

Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен

Ответ: 2.

Пусть О  — центр окруж­но­сти. Ра­ди­ус окруж­но­сти, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. По­это­му тре­уголь­ник OBA  — пря­мо­уголь­ный. Най­дем OA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Сле­до­ва­тель­но, длина сто­ро­ны AC равна

Ответ: 8.

Че­ты­рех­уголь­ник KPCB впи­сан в окруж­ность, по­это­му сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, сле­до­ва­тель­но, Углы APK и KPC  — смеж­ные, зна­чит, Из при­ве­ден­ных ра­венств, по­лу­ча­ем, что углы KBC и APK равны. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABC и AKP, угол A  — общий, углы APK и KBC равны, то есть тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да Ис­поль­зуя ра­вен­ство най­дем KP:

Ответ: 10.

Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му По тео­ре­ме си­ну­сов:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что

Ответ: 16.