Угол тре­уголь­ни­ка равен  = 180° − −  = 45°.

Радиус опи­сан­ной окружности равен .

Ответ: 2.

Пусть DC = x. Тогда по свой­ству ка­са­тель­ной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

Ответ: 16.

Пусть

По свой­ству ка­са­тель­ных AM = AP, BM = BK , CP = CK . Значит, тре­уголь­ни­ки AMP, BMK и CPK равнобедренные, от­ку­да получаем:

Значит, Ана­ло­гич­но получаем, что и

Решая си­сте­му от­но­си­тель­но α , β и γ , получаем, что углы тре­уголь­ни­ка ABC равны 82°, 42°, 56°.

Ответ: 82°, 42°, 56°.

Поскольку четырёхугольник впи­сан в окружность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, следовательно, Углы и — смежные, следовательно, Из приведённых равенств, получаем, что Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и угол — общий, углы и равны, следовательно, тре­уголь­ни­ки подобны, от­ку­да Ис­поль­зуя ра­вен­ство найдём

Ответ: 15.

Пусть O — центр окружности, OM = 16 и ON = 12 — перпендикуляры к хордам AB и CD соответственно. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OMB имеем: откуда ОВ = 20.

Поскольку OB = OD как радиусы окружности и MB = ON по условию, прямоугольные треугольники ОMB и OND равны по гипотенузе и катету. Следовательно, их катеты также равны: ND и OM также равны, откуда ND = 16.

Радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому CD = 2ND = 32.

Ответ: 32.