Проверим каждое из утверждений.

1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.

2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.

3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

Ответ: 12.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком» — не­кор­рект­ное утвер­жде­ние, кор­рект­ное — «Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квад­ра­том».

2) «Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им сто­ро­ны» — верно, т. к. тре­уголь­ник, два угла ко­то­ро­го равны яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, причём рав­ные сто­ро­ны лежат на­про­тив рав­ных углов.

3) «Внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми и се­ку­щей, равны» — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

Ответ: 23.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ведённая из вер­ши­ны, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части» — верно по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка.

2) «В любом пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны» — не­вер­но, это утвер­жде­ние спра­вед­ли­во ис­клю­чи­тель­но для ромба, а не для пря­мо­уголь­ни­ка.

3) «Для точки, ле­жа­щей на окруж­но­сти, рас­сто­я­ние до цен­тра окруж­но­сти равно ра­ди­у­су» — верно, т. к. окруж­ность — мно­же­ство точек, на­хо­дя­щих­ся на за­дан­ном рас­сто­я­нии от дан­ной точки.

Ответ: 13.

-------------------

Дуб­ли­ру­ет 315121

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Цен­тры впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка сов­па­да­ют» — верно, т.к. сов­па­да­ют точки пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис и се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров этого тре­уголь­ни­ка.

2) «Су­ще­ству­ет квад­рат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ром­бом» — не­вер­но; вер­ным будет утвер­жде­ние: «Су­ще­ству­ет ромб, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квад­ра­том».

3) «Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180°» — верно по свой­ству тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 13.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если угол ост­рый, то смеж­ный с ним угол также яв­ля­ет­ся ост­рым» — не­вер­но, т. к. смеж­ные углы в сумме со­став­ля­ют 180°.

2) «Диа­го­на­ли квад­ра­та вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны» — верно, т. к. квад­рат — част­ный слу­чай ромба.

3) «В плос­ко­сти все точки, рав­но­удалённые от за­дан­ной точки, лежат на одной окруж­но­сти» — верно, т. к. окруж­ность — это мно­же­ство точек, на­хо­дя­щих­ся на за­дан­ном рас­сто­я­нии от дан­ной точки.

Ответ: 23.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если три сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны трём сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то тре­уголь­ни­ки по­доб­ны» — верно, по при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

2) «Сумма смеж­ных углов равна 180°» — верно по свой­ству смеж­ных углов.

3) «Любая вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его бис­сек­три­сой» — не­вер­но, это утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка.

Ответ: 12.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если угол равен 45°, то вер­ти­каль­ный с ним угол равен 45°» — верно, по тео­ре­ме о вер­ти­каль­ных углах.

2) «Любые две пря­мые имеют ровно одну общую точку» — не­вер­но, утвер­жде­ние спра­вед­ли­во толь­ко для пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пря­мых.

3) «Через любые три точки про­хо­дит ровно одна пря­мая» — не­вер­но, не все­гда через три точки можно про­ве­сти одну пря­мую.

4) «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой мень­ше 1, то и длина любой на­клон­ной, про­ве­ден­ной из дан­ной точки к пря­мой, мень­ше 1.» — не­вер­но, пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки к пря­мой, мень­ше любой на­клон­ной, про­ведённой из той же точки к этой пря­мой.

Ответ: 1.

При­ме­ча­ние.

Не сле­ду­ет ду­мать, что во­прос «какие утвер­жде­ния вер­ные?» под­ра­зу­ме­ва­ет, что в от­ве­те долж­но быть не­сколь­ко утвер­жде­ний. Так же, как за­да­ча «ре­ши­те урав­не­ние» не под­ра­зу­ме­ва­ет, что ре­ше­ние во­об­ще есть.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.» — верно, так как если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2) «Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, две прямые имеют не более одной общей точки.

3) «Через любую точку проходит более одной прямой.» — верно, через одну точку проходит множество пересекающихся в этой точке прямых.

4) «Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, любые три прямые, которые не совпадают, если и имеют общую точку, то только одну.

Ответ: 13.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы со­став­ля­ют в сумме 90°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.» — не­вер­но, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы со­став­ля­ют в сумме 180°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

2) «Если угол равен 60°, то смеж­ный с ним равен 120°.» — верно, сумма смеж­ных углов равна 180°.

3) «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы равны 70° и 110°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.» — верно, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы со­став­ля­ют в сумме 180°, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны.

4) «Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой.» — верно, через три точки либо нель­зя про­ве­сти пря­мую, если они не лежат на одной линии, либо можно, но толь­ко одну.

Ответ: 234.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие точки.

3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Ответ: 34.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Через любые три точки про­хо­дит не более одной окруж­но­сти.» — верно, Через любые три точки, не ле­жа­щие на одной пря­мой, про­хо­дит един­ствен­ная окруж­ность. Если точки лежат на одной пря­мой, то окруж­ность про­ве­сти не­воз­мож­но. Тем самым, через любые три точки можно про­ве­сти не более одной окруж­но­сти.

2) «Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диа­мет­ров, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.» — верно, если рас­сто­я­ние от цен­тра до пря­мой мень­ше ра­ди­у­са, то окруж­но­сти имеют две общие точки, если окруж­но­сти ка­са­ют­ся то окруж­но­сти имеют одну общую точку, если рас­сто­я­ние боль­ше ра­ди­у­са, то окруж­но­сти не имеют общих точек.

3) «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 3 и 5, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 1, то эти окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся» — не­вер­но, окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, лежит внут­ри окруж­но­сти с ра­ди­у­сом 5.

4) «Если дуга окруж­но­сти со­став­ля­ет 80°, то впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу окруж­но­сти, равен 40°.» — верно, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги,на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Ответ: 124.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Сумма углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°.» — не­вер­но, сумма углов вы­пук­ло­го n — уголь­ни­ка равна (n – 2)·180°.

2) «Если один из углов па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°, то про­ти­во­по­лож­ный ему угол равен 120°.» — не­вер­но, в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны и про­ти­во­по­лож­ные углы равны.

3) «Диа­го­на­ли квад­ра­та делят его углы по­по­лам.» — верно, Диа­го­на­ли квад­ра­та равны, вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, делят углы квад­ра­та по­по­лам. Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны.

4) «Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны, то этот че­ты­рех­уголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.» — не­вер­но, если в четырёхуголь­ни­ке две сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны, то этот четырёхуголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм.

Ответ: 3.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.» — верно, если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник.

2) «Если диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма делят его углы по­по­лам, то этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.» — верно, если диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма делят его углы по­по­лам, то этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.

3) «Если один из углов, при­ле­жа­щих к сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равен 50°, то дру­гой угол, при­ле­жа­щий к той же сто­ро­не, равен 50°.» — не­вер­но, сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма па­рал­лель­ны и об­ра­зу­ют од­но­сто­рон­ние углы, а сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°.

4) «Если сумма трех углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 200°, то его чет­вер­тый угол равен 160°.» — верно, сумма углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 360°.

Ответ: 124.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Ответ: 12.

Примечание.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной.

Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Около лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти.»— верно, около лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, и при­том толь­ко одну.

2) «Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми, рав­ны­ми 3, 4, 5, на­хо­дит­ся на сто­ро­не этого тре­уголь­ни­ка.» — верно, тре­уголь­ник с та­ки­ми сто­ро­на­ми яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным, таким об­ра­зом, центр окруж­но­сти лежит на ги­по­те­ну­зе.

3) «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около квад­ра­та, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.» — верно, диа­го­на­ли квад­ра­та точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, таким об­ра­зом, цен­тром окруж­но­сти яв­ля­ет­ся точка пре­се­че­ния диа­го­на­лей.

4) «Около лю­бо­го ромба можно опи­сать окруж­ность.» — не­вер­но, чтобы около четырёхуголь­ни­ка можно было опи­сать окруж­ность, не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма про­ти­во­по­лож­ных углов четырёхуголь­ни­ка со­став­ля­ла 180°. Это верно не для лю­бо­го ромба.

Ответ: 123.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Окруж­ность имеет бес­ко­неч­но много цен­тров сим­мет­рии.»— не­вер­но, плос­кая фи­гу­ра об­ла­да­ет

цен­траль­ной сим­мет­ри­ей, если она сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но цен­тра

2) «Пря­мая не имеет осей сим­мет­рии.» — не­вер­но, пря­мая имеет бес­ко­неч­ное число осей сим­мет­рии.

3) «Пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник имеет пять осей сим­мет­рии.» — верно, каж­дая ось сим­мет­рии лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка с не­чет­ным чис­лом сто­рон про­хо­дит через вер­ши­ну и се­ре­ди­ну про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны.

4) «Квад­рат не имеет цен­тра сим­мет­рии.» — не­вер­но, центр сим­мет­рии квад­ра­та яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

Ответ: 3.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.»— верно, при четном количестве углов оси симметрии проходят через противоположные вершины и через середины противоположных сторон.

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3) «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.» — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

4) «Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.» — неверно, у равнобедренного треугольника одна ось симметрии.

Ответ: 13.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Цен­тром сим­мет­рии пря­мо­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.» — верно, пря­мо­уголь­ник яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, а се­ре­ди­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии.

2) «Цен­тром сим­мет­рии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.» — верно, ромб яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, а се­ре­ди­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии.

3) «Пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник имеет пять осей сим­мет­рии.» — верно, при не­чет­ном ко­ли­че­стве углов каж­дая ось сим­мет­рии про­хо­ди через вер­ши­ну и се­ре­ди­ну про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны.

4) «Цен­тром сим­мет­рии рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния ее диа­го­на­лей.» — не­вер­но, у рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции нет точек сим­мет­рии.

Ответ: 123.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если катет и ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.»— верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

2) «Любые два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.» — не­вер­но, так как углы, за­клю­чен­ные между про­пор­ци­о­наль­ны­ми сто­ро­на­ми, не равны.

3) «Любые два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка по­доб­ны.» — не­вер­но, так как нет вто­ро­го рав­но­го угла.

4) «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 3, BC = 4, AC = 5, яв­ля­ет­ся ту­по­уголь­ным.» — не­вер­но, тре­уголь­ник с та­ки­ми сто­ро­на­ми яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным.

Ответ: 1.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго равного угла.

2) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.» — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3) «Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.» — неверно, по теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих сторон.

4) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.» — верно, по теореме косинусов.

Ответ: 24.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на синус угла между ними.» — не­вер­но, квад­рат любой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сто­рон без удво­ен­но­го про­из­ве­де­ния этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.

2) «Если ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равны 5 и 12, то его ги­по­те­ну­за равна 13.» — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра квад­рат ги­по­те­ну­зы равен сумме квад­ра­тов ка­те­тов.

3) «Тре­уголь­ник ABC, у ко­то­ро­го AB = 5, BC = 6, AC = 7, яв­ля­ет­ся ост­ро­уголь­ным.» — верно, ост­ро­уголь­ным на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник у ко­то­ро­го все углы мень­ше 90°.

4) «В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат ка­те­та равен раз­но­сти квад­ра­тов ги­по­те­ну­зы и дру­го­го ка­те­та.» — верно, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра.

Ответ: 234.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если пло­ща­ди фигур равны, то равны и сами фи­гу­ры.» — не­вер­но, фи­гу­ры, у ко­то­рых равны пло­ща­ди на­зы­ва­ют­ся рав­но­ве­ли­ки­ми, но не рав­ны­ми.

2) «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.» — не­вер­но, пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

3) «Если две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна 10.» — не­вер­но, пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

4) «Если две смеж­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то пло­щадь этого па­рал­ле­ло­грам­ма равна 10.» — верно, пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна

Ответ: 4.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, опи­сан­но­го около окруж­но­сти, равна про­из­ве­де­нию его пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.» — не­вер­но, пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию по­ло­ви­не пе­ри­мет­ра на ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти.

2) «Если диа­го­на­ли ромба равна 3 и 4, то его пло­щадь равна 6.» — верно, пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

3) «Пло­щадь тра­пе­ции мень­ше про­из­ве­де­ния суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.» — верно, пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния суммы ос­но­ва­ний на вы­со­ту.

4) «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше про­из­ве­де­ния его ка­те­тов.» — верно, пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов.

Ответ: 234.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой» — верно, это аксиома планиметрии.

2) «Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует» — неверно: для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.

3) «Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.» — верно, в этом случае противоположный угол тоже будет равен 90°, а значит и два других (равных) угла будут равны по 90°.

4) «Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.» — неверно, центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности, лежит на его стороне.

Ответ: 13.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) Через любую точку про­хо­дит бес­ко­неч­ное мно­же­ство пря­мых, сле­до­ва­тель­но, утвер­жде­ние 1 верно.

2) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей со­от­вет­ствен­ные углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны - верно, это при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых.

3) На­крест ле­жа­щие углы двух па­рал­лель­ных пря­мых, пе­ре­сечённых тре­тьей, равны. Утвер­жде­ние 3 не­вер­но: пря­мые могут ока­зать­ся не­па­рал­лель­ны­ми.

Ответ: 12.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны. Утвер­жде­ние 1 верно, в силу при­зна­ка па­рал­лель­но­сти пря­мых.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной пря­мой. Утвер­жде­ние верно, через любые три точки либо нель­зя про­ве­сти пря­мую, если они не лежат на одной пря­мой, либо можно про­ве­сти одну пря­мую, если они лежат на одной пря­мой.

3) Вер­ти­каль­ные углы равны по по­стро­е­нию, при этом их сумма равна 180°, толь­ко если эти углы пря­мые, утвер­жде­ние 3 не­вер­но.

Ответ: 12.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на раз­ность ос­но­ва­ний.» — не­вер­но, пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на сумму ос­но­ва­ний.

2) «Через любые две точки можно про­ве­сти пря­мую.» — верно, это ак­си­о­ма гео­мет­рии.

3) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти един­ствен­ную пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной пря­мой.» — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

Ответ: 23.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «В любую рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность.» — не­вер­но, не в любую рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность.

2) «Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его углы по­по­лам.» — не­вер­но, диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его углы по­по­лам толь­ко в том слу­чае, когда па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом.

3) «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов.» — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

Ответ: 3.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Во­круг лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность» — верно, по свой­ству тре­уголь­ни­ка.

2) «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — квад­рат» — верно; из всех па­рал­ле­ло­грам­мов толь­ко в квад­ра­те диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны од­но­вре­мен­но.

3) «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту» — верно, по свой­ству тра­пе­ции.

Ответ: 123.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной» — не­вер­но, вер­ным будет утвер­жде­ние «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной».

2) «Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны» — верно, по свой­ству пря­мо­уголь­ни­ка.

3) «У любой тра­пе­ции бо­ко­вые сто­ро­ны равны» — не­вер­но, т. к. бо­ко­вые сто­ро­ны равны толь­ко у рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции.

Ответ: 2.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны» — верно,по признаку параллельных прямых.

2) «Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника» — неверно; верным будет утверждение: «Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника».

3) «Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат» — верно, т. к. если один из углов ромба равен 90°, то и остальные равны 90°.

Ответ: 13.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Смеж­ные углы равны» — не­вер­но, смеж­ные углы и свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем: .

2) «Любые две пря­мые имеют ровно одну общую точку» — не­вер­но, пря­мые могу также быть пар­рал­лель­ны, тогда точек пе­ре­се­че­ния нет, или сов­па­дать тогда точек пе­ре­се­че­ния бес­ко­неч­но много.

3) «Если угол равен 108°, то вер­ти­каль­ный с ним равен 108°» — верно по свой­ству вер­ти­каль­ных углов.

Ответ: 3.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Если угол равен 47°, то смеж­ный с ним равен 153°» — не­вер­но, сумма смеж­ных углов равна 180°.

2) «Если две пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны тре­тьей пря­мой, то эти две пря­мые па­рал­лель­ны» — верно, по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых.

3) «Через любую точку про­хо­дит ровно одна пря­мая» — не­вер­но через одну точку про­хо­дит бес­ко­неч­ное мно­же­ство пря­мых.

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

Не сле­ду­ет ду­мать, что во­прос «какие утвер­жде­ния вер­ные?» под­ра­зу­ме­ва­ет, что в от­ве­те долж­но быть не­сколь­ко утвер­жде­ний. Так же, как за­да­ча «ре­ши­те урав­не­ние» не под­ра­зу­ме­ва­ет, что ре­ше­ние во­об­ще есть.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Любые три прямые имеют не более одной общей точки» — верно. Если прямые имеют две и более общих точек, то они совпадают. (См. комментарии к задаче.)

2) «Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°» — неверно. Сумма смежных углов равна 180°.

3) «Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3» — верно. Т. к. расстояние — длина кратчайшего отрезка до прямой, а все наклонные — длиннее.

Ответ: 13.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «При пе­ре­се­че­нии двух па­рал­лель­ных пря­мых тре­тьей пря­мой сумма на­крест ле­жа­щих углов равна 180°» — не­вер­но, на­крест ле­жа­щие углы равны.

2) «Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны» — верно, по свой­ству ромба.

3) «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его бис­сек­трис» — не­вер­но,вер­ным будет утвер­жде­ние: «Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров».

Ответ: 13.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Диагонали параллелограмма равны» — неверно, если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник, т. е. не у каждого параллелограмма диагонали равны.

2) «Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.» — верно, ромб — частный случай параллелограмма, а площадь параллелограмма равна a · h.

3) «Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны» — неверно, нет такого признака равенства треугольников.

Ответ: 2.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов» — верно, для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.

2) «В тупоугольном треугольнике все углы тупые.» — неверно: в тупоугольном треугольнике один тупой и два острых угла.

3) «Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.» — верно.

Ответ: 13.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны» — неверно: такого признака равенства треугольников нет.

2) «Средняя линия трапеции параллельна её основаниям» — верно, это аксиома.

3) «Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов» — верно, для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.

Ответ: 23.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Точка ка­са­ния двух окруж­но­стей рав­но­уда­ле­на от цен­тров этих окруж­но­стей» — не­вер­но: точка ка­са­ния двух окруж­но­стей уда­ле­на от цен­тра на ве­ли­чи­ну ра­ди­у­са каж­дой окруж­но­сти.

2) «В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла» — верно, в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные углы равны.

3) «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов» — не­вер­но: пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния длин его ка­те­тов.

Ответ: 2.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов» — верно, сумма всех углов в треугольнике равна 180°, значит, меньший угол в треугольнике .

2) «Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.» — неверно.

3) «Все диаметры окружности равны между собой.» — верно.

Ответ: 13.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.» — верно, сторона треугольника не может быть больше суммы двух других.

2) «Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.» — неверно, сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.

3) «Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.» — верно, центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.

Ответ: 13.

1) «Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет.» — верно, боль­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка долж­на быть мень­ше суммы двух дру­гих.

2) «Смеж­ные углы равны» — не­вер­но, смеж­ные углы и свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем: .

3) «Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.» — верно.

Ответ: 13.

1) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой» — верно, это аксиома планиметрии.

2) «Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.» — неверно: например, могут быть квадрат и ромб с равной длиной стороны.

3) «Смежные углы равны» — неверно, смежные углы и связаны соотношением: .

Ответ: 1.

Рассмотрим каждое из утверждений:

1. Все углы ромба равны - неверно. Верно только в случае квадрата.

2. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны - неверно. Стороны квадрата и ромба могут быть равны, однако такие четырёхугольники не равны.

3. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности - верно.

Ответ: 3.