Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го треугольника, то такие тре­уголь­ни­ки подобны» — верно по при­зна­ку по­до­бия треугольников.

2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.

3) «Любая бис­сек­три­са рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его медианой» — неверно, это утвер­жде­ние справедливо толь­ко для рав­ностороннего треугольника.

Ответ: 12.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Существует квадрат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся прямоугольником» — некорректное утверждение, кор­рект­ное — «Существует прямоугольник, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квадратом».

2) «Если два угла тре­уголь­ни­ка равны, то равны и про­ти­во­ле­жа­щие им стороны» — верно, т. к. треугольник, два угла которого равны является равнобедренным, причём равные стороны лежат напротив равных углов.

3) «Внутренние на­крест лежащие углы, об­ра­зо­ван­ные двумя па­рал­лель­ны­ми прямыми и секущей, равны» — верно, это тео­ре­ма планиметрии.

Ответ: 23.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Биссектриса рав­но­бед­рен­но­го треугольника, проведённая из вершины, про­ти­во­ле­жа­щей основанию, делит ос­но­ва­ние на две рав­ные части» — верно по свой­ству равнобедренного треугольника.

2) «В любом пря­мо­уголь­ни­ке диагонали вза­им­но перпендикулярны» — неверно, это утвер­жде­ние справедливо ис­клю­чи­тель­но для ромба, а не для прямоугольника.

3) «Для точки, ле­жа­щей на окружности, рас­сто­я­ние до цен­тра окружности равно радиусу» — верно, т. к. окруж­ность — мно­же­ство точек, на­хо­дя­щих­ся на за­дан­ном расстоянии от дан­ной точки.

Ответ: 13.

-------------------

Дублирует 315121

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Центры впи­сан­ной и опи­сан­ной окружностей рав­но­сто­рон­не­го треугольника совпадают» — верно, т.к. сов­па­да­ют точки пе­ре­се­че­ния биссектрис и се­ре­дин­ных перпендикуляров этого треугольника.

2) «Существует квадрат, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся ромбом» — неверно; вер­ным будет утверждение: «Существует ромб, ко­то­рый не яв­ля­ет­ся квадратом».

3) «Сумма углов лю­бо­го треугольника равна 180°» — верно по свой­ству треугольника.

Ответ: 13.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым» — неверно, т. к. смежные углы в сумме составляют 180°.

2) «Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны» — верно, т. к. квадрат — частный случай ромба.

3) «В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности» — верно, т. к. окружность — это множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

Ответ: 23.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если три сто­ро­ны одного тре­уголь­ни­ка пропорциональны трём сто­ро­нам другого треугольника, то тре­уголь­ни­ки подобны» — верно, по признаку по­до­бия треугольников.

2) «Сумма смеж­ных углов равна 180°» — верно по свой­ству смежных углов.

3) «Любая вы­со­та равнобедренного тре­уголь­ни­ка является его биссектрисой» — неверно, это утвер­жде­ние справедливо толь­ко для рав­но­сто­рон­не­го треугольника.

Ответ: 12.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°» — верно, по теореме о вертикальных углах.

2) «Любые две прямые имеют ровно одну общую точку» — неверно, утверждение справедливо только для пересекающихся прямых.

3) «Через любые три точки проходит ровно одна прямая» — неверно, не всегда через три точки можно провести одну прямую.

4) «Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.» — неверно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Ответ: 1.

Примечание.

Не следует думать, что вопрос «какие утверждения верные?» подразумевает, что в ответе должно быть несколько утверждений. Так же, как задача «решите уравнение» не подразумевает, что решение вообще есть.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.» — верно, так как если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2) «Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, две прямые имеют не более одной общей точки.

3) «Через любую точку проходит более одной прямой.» — верно, через одну точку проходит множество пересекающихся в этой точке прямых.

4) «Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, любые три прямые, которые не совпадают, если и имеют общую точку, то только одну.

Ответ: 13.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы со­став­ля­ют в сумме 90°, то эти две пря­мые параллельны.» — неверно, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы со­став­ля­ют в сумме 180°, то эти две пря­мые параллельны.

2) «Если угол равен 60°, то смеж­ный с ним равен 120°.» — верно, сумма смеж­ных углов равна 180°.

3) «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы равны 70° и 110°, то эти две пря­мые параллельны.» — верно, если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой внут­рен­ние од­но­сто­рон­ние углы со­став­ля­ют в сумме 180°, то эти две пря­мые параллельны.

4) «Через любые три точки про­хо­дит не более одной прямой.» — верно, через три точки либо нель­зя провести прямую, если они не лежат на одной линии, либо можно, но только одну.

Ответ: 234.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 5 и 7, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 3, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.» — неверно, окруж­но­сти имеют две общие точки.

3) «Если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 3, а рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой равно 2, то эти пря­мая и окруж­ность пересекаются.» — верно, если рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой мень­ше радиуса, то пря­мая и окруж­ность имеют две общие точки.

4) «Если впи­сан­ный угол равен 30°, то дуга окружности, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся этот угол, равна 60°.» — верно, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги,на ко­то­рую он опирается.

Ответ: 34.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Через любые три точки про­хо­дит не более одной окружности.» — верно, Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, про­хо­дит единственная окруж­ность. Если точки лежат на одной прямой, то окружность провести невозможно. Тем самым, через любые три точки можно провести не более одной окружности.

2) «Если рас­сто­я­ние между цен­тра­ми двух окруж­но­стей боль­ше суммы их диаметров, то эти окруж­но­сти не имеют общих точек.» — верно, если рас­сто­я­ние от цен­тра до пря­мой мень­ше радиуса, то окруж­но­сти имеют две общие точки, если окруж­но­сти ка­са­ют­ся то окруж­но­сти имеют одну общую точку, если рас­сто­я­ние боль­ше радиуса, то окруж­но­сти не имеют общих точек.

3) «Если ра­ди­у­сы двух окруж­но­стей равны 3 и 5, а рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми равно 1, то эти окруж­но­сти пересекаются» — неверно, окружность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, лежит внут­ри окруж­но­сти с ра­ди­у­сом 5.

4) «Если дуга окруж­но­сти со­став­ля­ет 80°, то впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на эту дугу окружности, равен 40°.» — верно, впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги,на ко­то­рую он опирается.

Ответ: 124.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.» — неверно, сумма углов выпуклого n — угольника равна (n – 2)·180°.

2) «Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.» — неверно, в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

3) «Диагонали квадрата делят его углы пополам.» — верно, Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, делят углы квадрата пополам. Таким образом, прямоугольные треугольники равны.

4) «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.» — неверно, если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Ответ: 3.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диагонали равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник.» — верно, если в па­рал­ле­ло­грам­ме диагонали равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник.

2) «Если диа­го­на­ли параллелограмма делят его углы пополам, то этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.» — верно, если диа­го­на­ли параллелограмма делят его углы пополам, то этот па­рал­ле­ло­грамм — ромб.

3) «Если один из углов, при­ле­жа­щих к сто­ро­не параллелограмма, равен 50°, то дру­гой угол, при­ле­жа­щий к той же стороне, равен 50°.» — неверно, сто­ро­ны параллелограмма па­рал­лель­ны и об­ра­зу­ют односторонние углы, а сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°.

4) «Если сумма трех углов вы­пук­ло­го четырехугольника равна 200°, то его чет­вер­тый угол равен 160°.» — верно, сумма углов вы­пук­ло­го четырехугольника равна 360°.

Ответ: 124.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.» — верно, oколо треугольника можно описать окружность, притом только одну.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Ответ: 12.

Примечание.

Выражение «не более одной» означает, что окружностей не может быть больше одной.

Выражение «не менее одной» означает, что окружностей не может быть меньше одной.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Около лю­бо­го правильного мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окружности.»— верно, около лю­бо­го правильного мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать окружность, и при­том только одну.

2) «Центр окружности, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка со сторонами, рав­ны­ми 3, 4, 5, на­хо­дит­ся на сто­ро­не этого треугольника.» — верно, тре­уголь­ник с та­ки­ми сторонами яв­ля­ет­ся прямоугольным, таким образом, центр окруж­но­сти лежит на гипотенузе.

3) «Центром окружности, опи­сан­ной около квадрата, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диагоналей.» — верно, диа­го­на­ли квадрата точ­кой пересечения де­лят­ся пополам, таким образом, цен­тром окружности яв­ля­ет­ся точка пре­се­че­ния диагоналей.

4) «Около лю­бо­го ромба можно опи­сать окружность.» — неверно, чтобы около четырёхуголь­ни­ка можно было опи­сать окруж­ность, не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма про­ти­во­по­лож­ных углов четырёхуголь­ни­ка со­став­ля­ла 180°. Это верно не для лю­бо­го ромба.

Ответ: 123.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Окружность имеет бесконечно много центров симметрии.»— неверно, плоская фигура обладает

центральной симметрией, если она симметрична сама себе относительно центра

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» — верно, каждая ось симметрии любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон проходит через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Квадрат не имеет центра симметрии.» — неверно, центр симметрии квадрата является точка пересечения диагоналей.

Ответ: 3.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Правильный ше­сти­уголь­ник имеет шесть осей симметрии.»— верно, при чет­ном количестве углов оси сим­мет­рии проходят через про­ти­во­по­лож­ные вершины и через се­ре­ди­ны противоположных сторон.

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, пря­мая имеет бес­ко­неч­ное число осей симметрии.

3) «Центром сим­мет­рии ромба яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диагоналей.» — верно, ромб яв­ля­ет­ся параллелограммом, а се­ре­ди­на диагонали па­рал­ле­ло­грам­ма является его цен­тром симметрии.

4) «Равнобедренный тре­уголь­ник имеет три оси симметрии.» — неверно, у рав­но­бед­рен­но­го треугольника одна ось симметрии.

Ответ: 13.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.» — верно, прямоугольник является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

2) «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.» — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

3) «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.» — верно, при нечетном количестве углов каждая ось симметрии проходи через вершину и середину противоположной стороны.

4) «Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.» — неверно, у равнобедренной трапеции нет точек симметрии.

Ответ: 123.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.»— верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2) «Любые два равнобедренных треугольника подобны.» — неверно, так как углы, заключенные между пропорциональными сторонами, не равны.

3) «Любые два прямоугольных треугольника подобны.» — неверно, так как нет второго равного угла.

4) «Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.» — неверно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

Ответ: 1.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Любые два пря­мо­уголь­ных треугольника подобны.» — неверно, так как нет вто­ро­го равного угла.

2) «Если катет и ги­по­те­ну­за прямоугольного тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но 6 и 10, то вто­рой катет этого тре­уголь­ни­ка равен 8.» — верно, по тео­ре­ме Пифагора квад­рат гипотенузы равен сумме квад­ра­тов катетов.

3) «Стороны тре­уголь­ни­ка пропорциональны ко­си­ну­сам противолежащих углов.» — неверно, по тео­ре­ме синусов сто­ро­ны треугольника про­пор­ци­о­наль­ны синусам про­ти­во­ле­жа­щих сторон.

4) «Квадрат любой сто­ро­ны треугольника равен сумме квад­ра­тов двух дру­гих сторон без удво­ен­но­го произведения этих сто­рон на ко­си­нус угла между ними.» — верно, по тео­ре­ме косинусов.

Ответ: 24.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.» — неверно, квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2) «Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.» — верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

3) «Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.» — верно, остроугольным называется треугольник у которого все углы меньше 90°.

4) «В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.» — верно, по теореме Пифагора.

Ответ: 234.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.» — неверно, фигуры, у которых равны площади называются равновеликими, но не равными.

2) «Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.» — неверно, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) «Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого треугольника равна 10.» — неверно, площадь треугольника равна

4) «Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.» — верно, площадь параллелограмма равна

Ответ: 4.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.» — неверно, площадь многоугольника равна произведению половине периметра на радиус вписанной окружности.

2) «Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.» — верно, площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

3) «Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.» — верно, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.

4) «Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.» — верно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Ответ: 234.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной прямой, можно про­ве­сти прямую, па­рал­лель­ную этой прямой» — верно, это ак­си­о­ма планиметрии.

2) «Треугольник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 существует» — неверно: для того, чтобы су­ще­ство­вал треугольник, сумма любых его двух сто­рон должна быть боль­ше третьей стороны.

3) «Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квад­рат.» — верно, в этом слу­чае противоположный угол тоже будет равен 90°, а зна­чит и два дру­гих (равных) угла будут равны по 90°.

4) «Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окружности все­гда лежит внут­ри этого треугольника.» — неверно, центр опи­сан­ной вокруг пря­мо­уголь­но­го треугольника окружности, лежит на его стороне.

Ответ: 13.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) Через любую точку про­хо­дит бес­ко­неч­ное мно­же­ство прямых, следовательно, утвер­жде­ние 1 верно.

2) Если при пересечении двух прямых секущей со­от­вет­ствен­ные углы равны, то прямые параллельны - верно, это признак параллельности прямых.

3) На­крест ле­жа­щие углы двух па­рал­лель­ных прямых, пересечённых тре­тьей, равны. Утвер­жде­ние 3 неверно: прямые могут оказаться непараллельными.

Ответ: 12.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой со­от­вет­ствен­ные углы равны, то эти две пря­мые параллельны. Утвер­жде­ние 1 верно, в силу при­зна­ка параллельности прямых.

2) Через любые три точки про­хо­дит не более одной прямой. Утвер­жде­ние верно, через любые три точки либо нель­зя провести прямую, если они не лежат на одной прямой, либо можно про­ве­сти одну прямую, если они лежат на одной прямой.

3) Вер­ти­каль­ные углы равны по построению, при этом их сумма равна 180°, толь­ко если эти углы прямые, утвер­жде­ние 3 неверно.

Ответ: 12.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не высоты, умно­жен­ной на раз­ность оснований.» — неверно, пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не высоты, умно­жен­ной на сумму оснований.

2) «Через любые две точки можно про­ве­сти прямую.» — верно, это ак­си­о­ма геометрии.

3) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной прямой, можно про­ве­сти един­ствен­ную прямую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной прямой.» — верно, это тео­ре­ма планиметрии.

Ответ: 23.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «В любую рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию можно впи­сать окружность.» — не­вер­но, не в любую рав­но­бед­рен­ную трапецию можно впи­сать окружность.

2) «Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его углы пополам.» — неверно, диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его углы по­по­лам толь­ко в том случае, когда па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ромбом.

3) «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его катетов.» — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

Ответ: 3.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Во­круг лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность» — верно, по свой­ству треугольника.

2) «Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — квад­рат» — верно; из всех па­рал­ле­ло­грам­мов толь­ко в квад­ра­те диа­го­на­ли равны и пер­пен­ди­ку­ляр­ны одновременно.

3) «Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию сред­ней линии на вы­со­ту» — верно, по свой­ству трапеции.

Ответ: 123.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной» — неверно, вер­ным будет утвер­жде­ние «Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­стороннего тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной».

2) «Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны» — верно, по свойству прямоугольника.

3) «У любой тра­пе­ции бо­ко­вые сто­ро­ны равны» — неверно, т. к. бо­ко­вые стороны равны толь­ко у рав­но­бед­рен­ной трапеции.

Ответ: 2.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых тре­тьей пря­мой на­крест ле­жа­щие углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны» — верно,по признаку параллельных прямых.

2) «Диа­го­наль тра­пе­ции делит её на два рав­ных тре­уголь­ни­ка» — неверно; вер­ным будет утверждение: «Диа­го­наль параллелограмма делит его на два рав­ных тре­уголь­ни­ка».

3) «Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квад­рат» — верно, т. к. если один из углов ромба равен 90°, то и остальные равны 90°.

Ответ: 13.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Смеж­ные углы равны» — неверно, смеж­ные углы и свя­за­ны соотношением: .

2) «Любые две пря­мые имеют ровно одну общую точку» — неверно, пря­мые могу также быть парраллельны, тогда точек пе­ре­се­че­ния нет, или сов­па­дать тогда точек пе­ре­се­че­ния бес­ко­неч­но много.

3) «Если угол равен 108°, то вер­ти­каль­ный с ним равен 108°» — верно по свой­ству вер­ти­каль­ных углов.

Ответ: 3.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если угол равен 47°, то смеж­ный с ним равен 153°» — неверно, сумма смежных углов равна 180°.

2) «Если две пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны тре­тьей прямой, то эти две пря­мые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

3) «Через любую точку про­хо­дит ровно одна прямая» — неверно через одну точку проходит бесконечное множество прямых.

Ответ: 2.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Любые три пря­мые имеют не более одной общей точки» — верно. Если пря­мые имеют две и более общих точек, то они совпадают. (См. ком­мен­та­рии к задаче.)

2) «Если угол равен 120°, то смеж­ный с ним равен 120°» — неверно. Сумма смеж­ных углов равна 180°.

3) «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой боль­ше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из дан­ной точки к прямой, боль­ше 3» — верно. Т. к. рас­сто­я­ние — длина крат­чай­ше­го от­рез­ка до прямой, а все на­клон­ные — длиннее.

Ответ: 13.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «При пе­ре­се­че­нии двух па­рал­лель­ных пря­мых тре­тьей пря­мой сумма на­крест ле­жа­щих углов равна 180°» — неверно, на­крест лежащие углы равны.

2) «Диа­го­на­ли ромба перпендикулярны» — верно, по свой­ству ромба.

3) «Цен­тром окружности, опи­сан­ной около треугольника, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его биссектрис» — неверно,верным будет утверждение: «Цен­тром окружности, опи­сан­ной около треугольника, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его­ се­ре­дин­ных перпендикуляров».

Ответ: 13.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма равны» — неверно, если в па­рал­ле­ло­грам­ме диагонали равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм — прямоугольник, т. е. не у каждого параллелограмма диагонали равны.

2) «Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию его сто­ро­ны на вы­со­ту, про­ведённую к этой сто­ро­не.» — верно, ромб — частный случай параллелограмма, а площадь параллелограмма равна a · h.

3) «Если две сто­ро­ны и угол од­но­го тре­уголь­ни­ка равны со­от­вет­ствен­но двум сто­ро­нам и углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны» — неверно, нет такого признака равенства треугольников.

Ответ: 2.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов» — верно, для того, чтобы су­ще­ство­вал треугольник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей стороны.

2) «В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке все углы тупые.» — неверно: в ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один тупой и два ост­рых угла.

3) «Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме её ос­но­ва­ний.» — верно.

Ответ: 13.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны» — неверно: та­ко­го при­зна­ка ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков нет.

2) «Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на её ос­но­ва­ни­ям» — верно, это аксиома.

3) «Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов» — верно, для того, чтобы су­ще­ство­вал треугольник, сумма любых его двух сто­рон долж­на быть боль­ше тре­тьей стороны.

Ответ: 23.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Точка касания двух окруж­но­стей рав­но­уда­ле­на от цен­тров этих окруж­но­стей» — неверно: точка касания двух окружностей удалена от центра на величину радиуса каждой окружности.

2) «В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла» — верно, в параллелограмме противоположные углы равны.

3) «Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию длин его ка­те­тов» — неверно: пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна половине про­из­ве­де­ния длин его ка­те­тов.

Ответ: 2.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов» — верно, сумма всех углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, зна­чит меньший угол в тре­уголь­ни­ке .

2) «Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.» — неверно.

3) «Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.» — верно.

Ответ: 13.

Проверим каж­дое из утверждений.

1) «Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет.» — верно, сто­ро­на тре­уголь­ни­ка не может быть боль­ше суммы двух других.

2) «Сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 360 гра­ду­сам.» — неверно, сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка равна 180 гра­ду­сам.

3) «Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре его опи­сан­ной окруж­но­сти.» — верно, центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит в точке пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных перпендикуляров.

Ответ: 13.

1) «Тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 не су­ще­ству­ет.» — верно, большая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух дру­гих.

2) «Смеж­ные углы равны» — неверно, смеж­ные углы и свя­за­ны соотношением: .

3) «Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.» — верно.

Ответ: 13.

1) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной прямой, можно про­ве­сти прямую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную этой прямой» — верно, это ак­си­о­ма планиметрии.

2) «Если сто­ро­ны од­но­го четырёхуголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам дру­го­го четырёхуголь­ни­ка, то такие четырёхуголь­ни­ки равны.» — неверно: например, могут быть квад­рат и ромб с рав­ной длиной стороны.

3) «Смеж­ные углы равны» — неверно, смеж­ные углы и свя­за­ны соотношением: .

Ответ: 1.

Рассмотрим каждое из утверждений:

1. Все углы ромба равны - неверно. Верно только в случае квадрата.

2. Если сто­ро­ны од­но­го четырёхуголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны сто­ро­нам дру­го­го четырёхуголь­ни­ка, то такие четырёхуголь­ни­ки равны - неверно. Стороны квадрата и ромба могут быть равны, однако такие четырёхугольники не равны.

3. Через любую точку, ле­жа­щую вне окруж­но­сти, можно про­ве­сти две ка­са­тель­ные к этой окруж­но­сти - верно.

Ответ: 3