Про­ве­дем вспо­мо­га­тель­ное по­стро­е­ние. За­ме­тим, что дуга AC со­став­ля­ет ровно чет­верть окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, она равна 360°/4  =  90°. Угол ABC  — впи­сан­ный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, зна­чит, он равен по­ло­ви­не дуги AC: 90°/2  =  45°.

Ответ: 45.

Про­ве­дем вспо­мо­га­тель­ное по­стро­е­ние. За­ме­тим, что дуга AC со­став­ля­ет ровно чет­верть окруж­но­сти, сле­до­ва­тель­но, она равна 360°/4  =  90°. Угол ABC  — впи­сан­ный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся, зна­чит, он равен по­ло­ви­не дуги AC: 90°/2  =  45°. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 67,5.

Впи­шем в окруж­ность квад­рат так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Сто­ро­ны квад­ра­та от­се­ка­ют на окруж­но­сти рав­ные дуги. По­это­му гра­дус­ная мера дуги AC, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол ABC, со­став­ля­ет пол­но­го угла 360°, т. е. равна 270°. Угол ABC впи­сан­ный, по­это­му он равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, угол ABC равен 135°.

Ответ: 135.

Угол ABC опи­ра­ет­ся на дугу, гра­дус­ная мера ко­то­рой со­став­ля­ет всей окруж­но­сти, т. е. гра­ду­сов. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, т. е.

Ответ: 45

Впи­шем в окруж­ность квад­рат так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Сто­ро­ны квад­ра­та стя­ги­ва­ют рав­ные дуги, по­это­му дуга ЕАС равна 90°, а опи­ра­ю­щий­ся на нее впи­сан­ный угол ЕВС равен 45°.

В тре­уголь­ни­ке CAE про­ве­дем вы­со­ту из вер­ши­ны A (см. рис.). Она раз­де­лит сто­ро­ну EC по­по­лам, по­это­му тре­уголь­ник CAE  — рав­но­бед­рен­ный. Тогда малые дуги EA и AC равны, так как их стя­ги­ва­ют рав­ные хорды. Сле­до­ва­тель­но, равны и опи­ра­ю­щи­е­ся на них впи­сан­ные углы ЕВА и АВС. Таким об­ра­зом,

Ответ: 22,5.

Цен­траль­ный угол AOC равен 135°. Боль­шая дуга AC равна 360°-135°=225°. Угол ABC опи­ра­ет­ся на эту дугу, но яв­ля­ет­ся впи­сан­ным и равен по­ло­ви­не этой дуги, т. е. 112,5°.

Ответ: 112,5.

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. За­ме­тим, что тан­генс угла HOC равен еди­ни­це, сле­до­ва­тель­но, цен­траль­ный угол AOC равен 45°. Угол ABC опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и AOC, но яв­ля­ет­ся впи­сан­ным и равен по­ло­ви­не угла AOC, т. е. 22,5°.

Ответ: 22,5

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния. Угол AOC  — цен­траль­ный и равен 45°. Угол ABC опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и AOC, но яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, по­это­му равен по­ло­ви­не угла AOC, т. е. 22,5°.

Ответ: 22,5

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния. Угол AOC - цен­траль­ный и равен 135°. Угол ABC опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и угол AOC, но яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, по­это­му равен по­ло­ви­не угла AOC, т. е. 67,5°.

Ответ: 67,5.

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния. Угол AOC - цен­траль­ный и равен 135°. Ис­ко­мый угол ABC опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и AOC, но яв­ля­ет­ся впи­сан­ным и равен по­ло­ви­не угла AOC, т. е. 67,5°

Ответ: 67,5

Ис­ко­мый угол ABC опи­ра­ет­ся на окруж­но­сти: 360°:8=45°, но так как он яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, он равен по­ло­ви­не, т. е. 22,5°

Ответ: 22,5°

Угол ABC опи­ра­ет­ся на дугу, ко­то­рая со­став­ля­ет чет­верть окруж­но­сти, т. е. 90°. Так как угол ABC - впи­сан­ный, то он равен по­ло­ви­не дуги, т. е. 45°

Ответ: 45

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ные по­стро­е­ния. Угол AOC - цен­траль­ный и равен 135°. Боль­шая дуга AC равна 360°-135°=225°. Ис­ко­мый угол опи­ра­ет­ся на боль­шую дугу AC, но, так как он яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, то равен по­ло­ви­не дуги AC, т. е. 112,5°.

Ответ: 112,5

Про­ве­дем до­пол­ни­тель­ное по­стро­е­ние, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. За­ме­тим, что тан­генс угла HOC равен еди­ни­це, сле­до­ва­тель­но, цен­траль­ный угол AOC равен 45°. Угол ABC опи­ра­ет­ся на ту же дугу, что и AOC, но яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, по­это­му равен его по­ло­ви­не, т. е. 22,5°.

Ответ: 22,5.

Цен­траль­ный угол AOC равен 135°. Угол ABC опи­ра­ет­ся ну ту же дугу, что и AOC, но яв­ля­ет­ся впи­сан­ным, по­это­му равен его по­ло­ви­ну, т. е. 67,5°

Ответ: 67,5