Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 356222

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.

Спрятать решение

Решение.

Площадь треугольника равняется половине произведения сторон на синус угла между ними: S_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AC умножить на BC синус C, так как AC = AD плюс DC, значит,  S_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на (AD плюс DC) умножить на BC синус C, поэтому

BC синус C = дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: дробь: числитель: 1 конец дроби 2, знаменатель: конец дроби cdot (AD плюс DC)= дробь: числитель: 20, знаменатель: дробь: числитель: 1 конец дроби 2, знаменатель: конец дроби cdot (3 плюс 7) = 4.

Выразим через  синус C площадь треугольника BCD:

S_BCD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на DC умножить на BC синус C = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 умножить на 4 = 14.

Ответ: 14.

 

Приведем другое решение.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, следовательно, можно найти высоту треугольника ABC:

S_\Delta ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC умножить на h равносильно S_\Delta ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби (AD плюс DC) умножить на h равносильно h = дробь: числитель: 2S_\Delta ABC, знаменатель: (AD плюс DC) конец дроби , тогда h= дробь: числитель: 2 умножить на 20, знаменатель: 3 плюс 7 конец дроби =4.

Треугольник BCD имеет такую же высоту, что и треугольник ABC, следовательно,

S_\Delta BCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DC умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 7 умножить на 4 = 14.

 

Приведем еще одно решение.

Треугольники ABC и BCD имеют общую вершину B, а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

 дробь: числитель: S_\Delta BCD, знаменатель: S_\Delta ABC конец дроби = дробь: числитель: DC, знаменатель: AC конец дроби , тогда S_\Delta BCD= дробь: числитель: S_\Delta ABC умножить на DC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 20 умножить на 7, знаменатель: 10 конец дроби =14.

Источник: Банк заданий ФИПИ