Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 25 № 314918
i

Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, при­чем от­ре­зок KC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му. Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если \angle KAC боль­ше 90 гра­ду­сов.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим по­доб­ные тре­уголь­ни­ки ABC и АКС и уста­но­вим со­от­вет­ствие между их уг­ла­ми. Про­тив боль­шей сто­ро­ны все­гда лежит боль­ший угол, в тре­уголь­ни­ке ABC это угол ABC, в тре­уголь­ни­ке KAC, в свою оче­редь, есть тупой угол KAC и он яв­ля­ет­ся наи­боль­шим, зна­чит, \angle KAC = \angle ABC. Угол ACK за­ве­до­мо не может быть равен углу ACB, так как он со­став­ля­ет толь­ко его часть. Сле­до­ва­тель­но, угол ACB равен углу AKC. Най­дем ко­си­нус угла AKC ис­поль­зуя тео­ре­му ко­си­ну­сов:

ко­си­нус \angle AKC = ко­си­нус \angle ACB = дробь: чис­ли­тель: AC в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те минус AB в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 AC умно­жить на BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 20 плюс 1 минус 13, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
По­лу­чен вер­ный обос­но­ван­ный ответ2
При вер­ных рас­суж­де­ни­ях до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка, воз­мож­но при­вед­шая к не­вер­но­му от­ве­ту1
Дру­гие слу­чаи, не со­от­вет­ству­ю­щие ука­зан­ным кри­те­ри­ям0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 311252: 311262 314809 314819 ... Все

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ
Раздел кодификатора ФИПИ:
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025