OГЭ–2025, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 311558 Добавить в вариант

Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим скорость (в км/ч) автомобиля за υ, $v больше 0,$ а время (в часах), за которое мотоцикл проезжает от А до С за t, $t больше 0.$

Составим таблицу по данным задачи:

(в промежутке от А до С)	Скорость, км/ч	Время, ч	Расстояние, км
Автомобиль	υ	$t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$	$v левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$
Мотоцикл	75	t	$75t$

Тогда имеем  $75t= v левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ,$ откуда $v = дробь: числитель: 150t, знаменатель: 2t плюс 3 конец дроби .$

Поскольку весь путь от А до В автомобиль преодолел за время  $2t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ получаем:

$v левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =375; дробь: числитель: 150t, знаменатель: 2t плюс 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =375 равносильно 300t в квадрате плюс 225t=750t плюс 1125 равносильно$
$равносильно 4t в квадрате минус 7t минус 15=0 равносильно совокупность выражений t = минус дробь: числитель: 5}4,t = 3 конец совокупности . \undersett больше 0, знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби t = 3.$ $v левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =375; дробь: числитель: 150t, знаменатель: 2t плюс 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =375 равносильно$
$равносильно 300t в квадрате плюс 225t=750t плюс 1125 равносильно$
$равносильно 4t в квадрате минус 7t минус 15=0 равносильно совокупность выражений t = минус дробь: числитель: 5}4,t = 3 конец совокупности . \undersett больше 0, знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби t = 3.$

Значит, расстояние от А до С равно  $75 умножить на 3=225$ (км).

Ответ: 225 км.

Приведем другое решение.

Пусть x км/ч (x > 0)  — скорость автомобиля, y км (y > 0)  — расстояние от А до С. Составим таблицу движения.

	V км/ч	S км от A до С	S км от С до B	S км от С до A	t ч от A до C	t ч от C до B	t ч от C до A
Автомобиль	x	y	375 – y	—	$дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби больше на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$	$дробь: числитель: 375 минус y, знаменатель: x конец дроби$	—
Мотоцикл	75	y	—	y	$дробь: числитель: y, знаменатель: 75 конец дроби$	—	$дробь: числитель: y, знаменатель: 75 конец дроби$

Составим и решим систему уравнений:

$система выражений дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: y, знаменатель: 75 конец дроби , дробь: числитель: y, знаменатель: 75 конец дроби = дробь: числитель: 375 минус y, знаменатель: x конец дроби . конец системы .$

Из 2-го уравнения $x = дробь: числитель: 75 левая круглая скобка 375 минус y правая круглая скобка , знаменатель: y конец дроби .$ Подставим в 1-ое уравнение

$дробь: числитель: y , знаменатель: \dfrac75 левая круглая скобка 375 минус y правая круглая скобка y конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: y , знаменатель: 75 конец дроби ,$

тогда,

$2 y в квадрате минус 225 левая круглая скобка 375 минус y правая круглая скобка минус 2 y левая круглая скобка 375 минус y правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 y в квадрате минус 225 умножить на 375 плюс 225 y минус 750 y плюс 2 y в квадрате =0 равносильно 4 y в квадрате минус 525 y минус 225 умножить на 375=0,$ $2 y в квадрате минус 225 левая круглая скобка 375 минус y правая круглая скобка минус 2 y левая круглая скобка 375 минус y правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 2 y в квадрате минус 225 умножить на 375 плюс 225 y минус 750 y плюс 2 y в квадрате =0 равносильно$
$равносильно 4 y в квадрате минус 525 y минус 225 умножить на 375=0,$

где

$D= левая круглая скобка минус 525 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 4 умножить на левая круглая скобка минус 225 умножить на 375 правая круглая скобка =275 625 плюс 1 350 000=1 625 625 \Rightarrow корень из: начало аргумента: D конец аргумента =1275,$ $D= левая круглая скобка минус 525 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 4 умножить на левая круглая скобка минус 225 умножить на 375 правая круглая скобка =275 625 плюс 1 350 000=1 625 625 \Rightarrow$
$\Rightarrow корень из: начало аргумента: D конец аргумента =1275,$

следовательно,

$y_1= дробь: числитель: 525 минус 1275, знаменатель: 8 конец дроби = минус 93,75 ;$ $y_2= дробь: числитель: 525 плюс 1275, знаменатель: 8 конец дроби =225.$

Так как y > 0, значит, 225 км  — расстояние от А до С.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильно составлено уравнение, получен верный ответ	2
Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа	1
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 311558: 311922 338945 Все

Источник: ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(1 вар)

Раздел кодификатора ФИПИ: 3.3 Решение текстовых задач алгебраическим методом

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь