РЕШУ ОГЭ — математика

Центральные и вписанные углы

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.

Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что $\angle AOB = 28 градусов.$ Длина меньшей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги.

Точка O  — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC  =  15° и ∠OAB  =  8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Решение. Проведем радиус OB. Рассмотрим треугольник AOB: AO  =  OB, следовательно, углы ∠OAB = ∠ABO  =  8°. Рассмотрим треугольник BOC: BO  =  OC, следовательно,

∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO  =  15° − 8°  =  7°.

Ответ: 7.

Приведем другое решение.

Угол ABC  — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, величина дуги ADC равна 30°. Дуги ADC и ABC вместе составляют полную окружность, поэтому дуга ABC равна 360° − 30°  =  330°. Рассмотрим угол AOC четырехугольника AOCB, он центральный, опирается на дугу ABC, поэтому он равен 330°. Сумма углов четырехугольника равна 360°, откуда

∠BCO  =  360° − ∠ AOC − ∠ ABC − ∠ OAB  =  360° − 330° − 15° − 8°  =  7°.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что угол AOC по данным задачи является острым, в то время как на рисунке он тупой. Очевидно, что это не влияет на справедливость решения  — задачу можно решить и вовсе без рисунка. Поэтому мы не стали менять тот рисунок, который был дан авторами задания.

10.  

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB  =  66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.

11.  

В угол C величиной 83° вписана окружность с центром O, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

12.  

В угол C величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O  — центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

13.  

Площадь круга равна 90. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 60°.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	90	6
2	311331	71
3	311354	42
4	311479	6,5
5	311483	162
6	311510	55
7	311523	65
8	333117	747
9	339429	7
10	339904	441
11	340229	97
12	348670	23
13	356339	15

Ключ