Ре­ше­ние. Сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 90°. Ост­рые углы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 4 части к 5 ча­стям, сумма этих углов 4 + 5 = 9 ча­стей. По­это­му одна часть равна 10°. Так как боль­ший угол со­дер­жит в себе 5 ча­стей, он равен 5·10° = 50°.

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. Так как в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке один из углов равен 45°, то такой тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов. Таким об­ра­зом:

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. Пусть ка­те­ты имеют длины a и b, а ги­по­те­ну­за  — длину Пусть длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе равна Най­дем длину ги­по­те­ну­зы по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка может быть най­де­на как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния ка­те­тов или как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния вы­со­ты, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе на ги­по­те­ну­зу:

Ответ: 33,6.

Ре­ше­ние. Пусть ка­те­ты имеют длины a и b, а ги­по­те­ну­за  — длину c. Най­дем длину ги­по­те­ну­зы по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Наи­мень­ший угол в тре­уголь­ни­ке лежит про­тив наи­мень­шей сто­ро­ны, сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шая сто­ро­на равна 1, и синус наи­мень­ше­го угла равен:

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Пусть ка­те­ты имеют длины a и b, а ги­по­те­ну­за  — длину c. Пусть длина вы­со­ты, про­ве­ден­ной к ги­по­те­ну­зе равна h. Най­дем длину не­из­вест­но­го ка­те­та из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка может быть най­де­на как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния ка­те­тов:

Ответ: 1344.

Ре­ше­ние. Пусть x  — длина ка­те­та, ле­жа­ще­го про­тив угла в 30°, тогда ги­по­те­ну­за равна вто­рой катет равен

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ка­те­тов.

Сле­до­ва­тель­но, длина ги­по­те­ну­зы, равна 16.

Ответ: 16.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, при­ле­жа­ще­го к углу 30° равна Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABC и ABH, они  — пря­мо­уголь­ные, угол BAC  — общий, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. От­ку­да:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30° равна a. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 30°  =  60°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 38.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Катет, ле­жа­щий на­про­тив угла 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Пусть а  — длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30°, тогда длина ги­по­те­ну­зы равна 2а. Най­дем вто­рой катет b по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов, тогда

Ответ: 38.

Ре­ше­ние. Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, при­ле­жа­ще­го к углу 30° равна a. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 34.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Катет, ле­жа­щий на­про­тив угла 30°, равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы. Пусть а  — длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 30°, тогда длина ги­по­те­ну­зы равна 2а. Най­дем вто­рой катет b по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов, тогда от­ку­да тогда

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем вто­рой катет: зна­чит, пло­щадь равна:

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Пусть длина ги­по­те­ну­зы равна c, а длина ка­те­та, ле­жа­ще­го на­про­тив угла 60° равна a. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния двух сто­рон на синус угла между ними:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: 100.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 60°, равен a, а вто­рой катет равен b. Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, сле­до­ва­тель­но, вто­рой ост­рый угол равен 180° − 90° − 60°  =  30°, и Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов, сле­до­ва­тель­но,

Учи­ты­вая, что по­лу­чим a  =  100.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки ABC и ABH, они  — пря­мо­уголь­ные, угол BAC  — общий, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны. От­ку­да:

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. CM  — ме­ди­а­на, а ме­ди­а­на пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны пря­мо­го угла, равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, зна­чит,

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Углы и равны как углы со вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми, и

Сле­ду­ет, тре­уголь­ни­ки AHC и CHB  — по­доб­ные по двум углам.

Из со­от­но­ше­ния най­дем CH:

Ответ: 6.