Ре­ше­ние. Всего трех­знач­ных чисел 900. На пять де­лит­ся каж­дое пятое из них, то есть таких чисел  Ве­ро­ят­ность того, что Коля вы­брал трех­знач­ное число, де­ля­ще­е­ся на 5, опре­де­ля­ет­ся от­но­ше­ни­ем ко­ли­че­ства трех­знач­ных чисел, де­ля­щих­ся на 5, ко всему ко­ли­че­ству трех­знач­ных чисел:

Ответ: 0,2.

При­ме­ча­ние.

Ко­ли­че­ства чисел можно было не на­хо­дить: ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна одной пятой по­то­му, что пятая часть чисел де­лит­ся на 5.

При­ве­дем ре­ше­ние с на­хож­де­ни­ем ко­ли­че­ства чисел, де­ля­щих­ся на 5.

Трех­знач­ные числа  — это числа от 100 до 999, всего их 900.

Най­дем пер­вое число в за­дан­ном диа­па­зо­не, де­ля­ще­е­ся на 5  — это 

Най­дем пер­вое число, боль­шее пра­вой гра­ни­цы диа­па­зо­на, де­ля­ще­е­ся на 5  — это 

Сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство чисел, де­ля­щих­ся на 5, в за­дан­ном диа­па­зо­не равно 

Ве­ро­ят­ность вы­брать трех­знач­ное число, де­ля­ще­е­ся на 5, равна 

Ре­ше­ние. Всего есть 90 дву­знач­ных чисел (числа от 10 до 99 вклю­чи­тель­но). Дву­знач­ных чисел, окан­чи­ва­ю­щих­ся на 3 всего 9. Ве­ро­ят­ность слу­чай­но вы­брать дву­знач­ное число, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 3 равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства таких дву­знач­ных чисел к об­ще­му ко­ли­че­ству дву­знач­ных чисел, то есть

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. Всего было под­го­тов­ле­но 50 би­ле­тов. Среди них 9 были од­но­знач­ны­ми, это би­ле­ты с но­ме­ра­ми от 1 до 9. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый уче­ни­ком билет имеет од­но­знач­ный номер равна

Ответ: 0,18.

Ре­ше­ние. Всего в мешке 50 же­то­нов. Среди них 45 имеют дву­знач­ный номер (это же­то­ны с но­ме­ра­ми от 10 до 54, их ко­ли­че­ство равно 54 − 10 + 1  =  45). Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что из­вле­чен­ный на­у­гад из мешка жетон со­дер­жит дву­знач­ное число, равна

Ответ: 0,9.

При­ме­ча­ние.

На­пом­ним, как найти ко­ли­че­ство чисел в за­дан­ном диа­па­зо­не:

Ко­ли­че­ство чисел в диа­па­зо­не от m до n равно n − m + 1, при этом пред­по­ла­га­ет­ся, что и m, и n вхо­дят в дан­ный диа­па­зон. На­при­мер, ко­ли­че­ство чисел от 5 до 7 равно 7 − 5 + 1  =  3, а имен­но 5, 6, 7.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность по­лу­чить ве­ще­вой вы­иг­рыш равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства ве­ще­вых вы­иг­ры­шей к об­ще­му ко­ли­че­ству би­ле­тов

Ответ: 0,013.

Ре­ше­ние. Чисел от 15 до 29  — 15 штук. Среди них на 5 де­лит­ся толь­ко 3 числа. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ное на­ту­раль­ное число от 15 до 29 де­лит­ся на 5 равна

Ответ: 0,2.

При­ме­ча­ние.

Фраза от «M до N» под­ра­зу­ме­ва­ет, что и M, и N вклю­ча­ют­ся в диа­па­зон. Ко­ли­че­ство чисел в ука­зан­ном диа­па­зо­не можно найти по фор­му­ле N − M + 1. Фраза «число де­лит­ся на k» под­ра­зу­ме­ва­ет, что число де­лит­ся на k без остат­ка. Такие со­гла­ше­ния ис­поль­зу­ют­ся в сбор­ни­ках для под­го­тов­ки к эк­за­ме­нам во всех за­да­чах по­доб­но­го типа.

Ре­ше­ние. Каж­дая ко­ман­да по­па­дет в груп­пу с ве­ро­ят­но­стью 0,25. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­да не по­па­да­ет в груп­пу равна 

Ответ: 0,75.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. Среди пяти детей одна де­воч­ка. По­это­му ве­ро­ят­ность равна 

Ответ: 0,2.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. Бла­го­при­ят­ным слу­ча­ем яв­ля­ет­ся толь­ко один слу­чай, когда игру на­чи­на­ет Галя, а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 4. По­это­му ис­ко­мое от­но­ше­ние равно 

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. Бла­го­при­ят­ны­ми слу­ча­я­ми яв­ля­ют­ся 3 слу­чая, когда игру на­чи­на­ет не Семен, а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 4. По­это­му ис­ко­мое от­но­ше­ние равно 

Ответ: 0,75.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия равна от­но­ше­нию ко­ли­че­ства бла­го­при­ят­ных слу­ча­ев к ко­ли­че­ству всех слу­ча­ев. Бла­го­при­ят­ны­ми слу­ча­я­ми яв­ля­ют­ся 3 слу­чая, когда игру на­чи­на­ет Петя, Игорь или Антон, а ко­ли­че­ство всех слу­ча­ев 6. По­это­му ис­ко­мое от­но­ше­ние равно 

Ответ: 0,5.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный из пар­тии фо­на­рик  — не­бра­ко­ван­ный, со­став­ля­ет 1 − 0,02=0,98. Ве­ро­ят­ность того, что мы вы­бе­рем од­но­вре­мен­но два не­бра­ко­ван­ных фо­на­ри­ка равна 0,98 · 0,98  =  0,9604.

Ответ: 0,9604.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность того, что пакет мо­ло­ка про­те­ка­ет, равна По­это­му ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный пакет мо­ло­ка не течет, равна

Ответ: 0,95.

Ре­ше­ние. При бро­са­нии ку­би­ка рав­но­воз­мож­ны шесть раз­лич­ных ис­хо­дов. Со­бы­тию «вы­па­дет более трех очков» удо­вле­тво­ря­ют три слу­чая: когда на ку­би­ке вы­па­да­ет 4, 5 или 6 очков. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что на ку­би­ке вы­па­дет более 3 очков равна

Ответ: 0,5.

Ре­ше­ние. При бро­са­нии ку­би­ка рав­но­воз­мож­ны шесть раз­лич­ных ис­хо­дов. Со­бы­тию "вы­па­дет не­чет­ное число очков" удо­вле­тво­ря­ют три слу­чая: когда на ку­би­ке вы­па­да­ет 1, 3 или 5 очков. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что на ку­би­ке вы­па­дет не­чет­ное число очков равна

Ответ: 0,5.

Ре­ше­ние. Ча­сто­та рож­де­ний де­во­чек в 2010 году была равна 477 : 1000  =  0,477. Ве­ро­ят­ность рож­де­ния де­воч­ки в этом ре­ги­о­не равна 1 − 0,512  =  0,488. По­это­му ча­сто­та дан­но­го со­бы­тия от­ли­ча­лась от его ве­ро­ят­но­сти на 0,488 − 0,477  =  0,011.

Ответ: 0,011.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча взята нами из От­кры­то­го банка за­да­ний для про­ве­де­ния ОГЭ. В этом и ана­ло­гич­ных за­да­ни­ях ча­сто­той ав­то­ры на­зы­ва­ют от­но­си­тель­ную ча­сто­ту.

Чи­та­те­лям сле­ду­ет при­нять во вни­ма­ние, что тер­ми­ны от­но­си­тель­ная ча­сто­та и ча­сто­та обыч­но яв­ля­ют­ся си­но­ни­ма­ми. Од­на­ко в §  26 «От­но­си­тель­ная ча­сто­та и закон боль­ших чисел» са­мо­го мас­со­во­го рос­сий­ско­го учеб­ни­ка ал­геб­ры Ш. А. Али­мо­ва «Ал­геб­ра 9» (17 изд. и позже), на­о­бо­рот, ска­за­но сле­ду­ю­щее: «От­но­си­тель­ной ча­сто­той со­бы­тия А в дан­ной серии ис­пы­та­ний на­зы­ва­ют от­но­ше­ние числа ис­пы­та­ний М, в ко­то­рых это со­бы­тие про­изо­шло, к числу всех про­ве­ден­ных ис­пы­та­ний N. При этом число М на­зы­ва­ют ча­сто­той со­бы­тия А. От­но­си­тель­ную ча­сто­ту со­бы­тия А обо­зна­ча­ют ». Мы со­об­щи­ли об этом со­ста­ви­те­лям ОГЭ в 2020-м году.

Ре­ше­ние. Всего име­ет­ся 900 трех­знач­ных чисел 900. Из них на 51 де­лит­ся каж­дое 51-ое число, на­чи­ная со 102, то есть По­это­му ве­ро­ят­ность того, что Валя вы­бра­ла число, де­ля­ще­е­ся на 51, равна то есть 0,02.

Ответ: 0,02.

При­ве­дем дру­гой спо­соб под­сче­та трех­знач­ных чисел, де­ля­щих­ся на 51.

Самое ма­лень­кое трех­знач­ное число, де­ля­ще­е­ся на 51,  — это 51 · 2  =  102, а самое боль­шое такое число равно 51 · 19  =  969. Сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство трех­знач­ных чисел, ко­то­рые де­лят­ся на 51, равно 19  −  2  +  1  =  18.

Ре­ше­ние. Всего воз­мож­ны че­ты­ре ис­хо­да: решка-решка, решка-орел, орел-решка, орел-орел. Орел вы­па­да­ет ровно один раз в двух слу­ча­ях, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно один раз равна

Ответ: 0,5.

Ре­ше­ние. При бро­са­нии ку­би­ка рав­но­воз­мож­ны шесть раз­лич­ных ис­хо­дов. Со­бы­тию «вы­па­дет боль­ше трех очков» удо­вле­тво­ря­ют три слу­чая: когда на ку­би­ке вы­па­да­ет 4, 5, или 6 очков. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что на ку­би­ке вы­па­дет не боль­ше трех очков равна Таким об­ра­зом, при одном бро­са­нии ку­би­ка с оди­на­ко­вой ве­ро­ят­но­стью ре­а­ли­зу­ет­ся либо со­бы­тие А  — вы­па­ло число, боль­шее 3, либо со­бы­тие Б  — вы­па­ло число не боль­ше 3. То есть рав­но­ве­ро­ят­но ре­а­ли­зу­ют­ся че­ты­ре со­бы­тия: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что оба раза вы­па­ло число, боль­шее 3 равна

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. Ве­ро­ят­ность про­ма­ха равна 1 − 0,5  =  0,5. Ве­ро­ят­ность того, что стре­лок пер­вые три раза попал в ми­ше­ни равна 0,5³  =  0,125. От­ку­да, ве­ро­ят­ность со­бы­тия, при ко­то­ром стре­лок сна­ча­ла три раза по­па­да­ет в ми­ше­ни, а чет­вер­тый раз про­ма­хи­ва­ет­ся равна 0,125 · 0,5  =  0,0625.

Ответ: 0,0625.

Ре­ше­ние. Сум­мар­ная ве­ро­ят­ность не­сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P=0,6 + 0,1  =  0,7.

Ответ: 0,7.