Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию длины ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 40.

Ре­ше­ние. Углы А и В  — од­но­сто­рон­ние, по­это­му угол А равен 180° − 50° − 65° = 65°.

Ответ: 65.

Ре­ше­ние. Пусть мень­ший угол равен x, тогда боль­ший угол равен

По­сколь­ку сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°, имеем:

Таким об­ра­зом, наи­мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 70°.

Ответ: 70.

Ре­ше­ние. Пусть x  — мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма, а 2x  — боль­ший угол, x + 2x + x + 2x = 6x  — сумма углов па­рал­ле­ло­грам­ма, от­ку­да x = 60°.

Таким об­ра­зом, мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 90° и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ка­те­та­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся по­ло­ви­ны диа­го­на­лей ромба, а ги­по­те­ну­зой  — сто­ро­на ромба, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем по­ло­ви­ну не­из­вест­ной диа­го­на­ли: Тогда вся не­из­вест­ная диа­го­наль равна 8.

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Пе­ри­метр ромба равен сумме длин всех его сто­рон. Так как все сто­ро­ны равны, сто­ро­на ромба равна 10. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Таким об­ра­зом,

Ответ: 50.

Ре­ше­ние. Пе­ри­метр ромба равен сумме длин всех его сто­рон. Так как все сто­ро­ны равны, сто­ро­на ромба равна 6. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, по­это­му

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию вы­со­ты на ос­но­ва­ние. Таким об­ра­зом,

Ответ: 120.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними:

Ответ: 30.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними, по­это­му

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Cинус угла най­дем из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними. Най­дем синус угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке тан­генс опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Имеем:

Таким об­ра­зом, где x  — число.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра ги­по­те­ну­за этого пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке синус опре­де­ля­ет­ся как от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. Имеем:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию сто­рон на синус угла между ними:

Ответ:50.

При­ме­ча­ние:

Можно найти вто­рую диа­го­наль по тео­ре­ме ко­си­ну­сов и вы­чис­лить пло­щадь ромба как по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей.

Ре­ше­ние. Угол DAB равен 47° + 11°  =  58°, а сумма углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна 180°. По­это­му угол ADC равен 180° − 58°  =  122°. Он и яв­ля­ет­ся наи­боль­шим.

Ответ: 122.

Ре­ше­ние. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, по­это­му Ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит его на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка, по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 42.

Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник CDE  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Тогда угол CDE равен

Угол ADE  — раз­вер­ну­тый, он со­сто­ит из двух углов: ADC и CDE. Зна­чит, боль­ший угол ADC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD будет равен

Ответ: 106°.

Ре­ше­ние. Пло­щадь ромба можно найти как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей:

Ответ: 42.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем по­стро­е­ние и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Учи­ты­вая, что и по­лу­ча­ем Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BOK и HOD, они пря­мо­уголь­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки BOK и HOD равны, от­ку­да то есть вы­со­та Най­дем пло­щадь ромба как про­из­ве­де­ние сто­ро­ны на вы­со­ту:

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Про­ве­дем вы­со­ту в ромбе и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Все сто­ро­ны ромба равны, по­это­му Най­дем BH из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Най­дем пло­щадь ромба как про­из­ве­де­ние сто­ро­ны на вы­со­ту:

Ответ: 420,5.

Ре­ше­ние. Пусть длин сто­рон па­рал­ле­ло­грам­ма равны a и В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны: Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма

Ответ: 24.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что если в па­рал­ле­ло­грам­ме равны суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон, то все сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны, сле­до­ва­тель­но, дан­ный па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом.

Ре­ше­ние. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BHD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 1305.

Ре­ше­ние. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Углы BEA и EAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и По­сколь­ку AE  — бис­сек­три­са угла A, Этот угол яв­ля­ет­ся ост­рым углом па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH най­дем

Пло­щадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 156.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что сто­ро­на ромба AB  =  AD  =  AH + HD  =  44 + 11  =  55.

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABH най­дем BH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь ромба можно найти как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: 1815.

Ре­ше­ние. Пусть точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей  — точка O. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, от­ку­да AO  =  OC  =  AB  =  CD. По­сколь­ку OC  =  CD, тре­уголь­ник COD  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Угол COD яв­ля­ет­ся ис­ко­мым углом между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 5,5.

Ре­ше­ние. Пусть точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей  — точка O. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, от­ку­да AO  =  OC  =  AB  =  CD. По­сколь­ку OC  =  CD, тре­уголь­ник COD  — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но,

Угол COD яв­ля­ет­ся ис­ко­мым углом между диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ответ: 79,5.

Ре­ше­ние. Углы BKA и KAD равны как на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му углы BAK и BKA также равны. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник ABK  — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да AB  =  BK  =  6. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны. Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен сумме длин всех его сто­рон P  =  2(BC + AB)  =  2(6 + 10 + 6)  =  44.

Ответ: 44.

Ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его ос­но­ва­ния на вы­со­ту, опу­щен­ную на это ос­но­ва­ние. Пусть вы­со­ты равны со­от­вет­ствен­но a и b. Тогда S = 5 · a = 10 · b = 40. По­это­му a = 8, b = 4. Боль­шая вы­со­та равна 8.

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Так как сумма од­но­сто­рон­них углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°, то боль­ший угол равен 180° − 41°=139°.

Ответ: 139.

Ре­ше­ние. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма делит его на два рав­ных тре­уголь­ни­ка, по­это­му Ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка делит его на два рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ка, по­это­му

Ответ: 33.

Ре­ше­ние. В па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, по­это­му DO  =  10.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам. Имеем:

Ответ: 15.