PDF-версии: 
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Решение. Поскольку угол ACB тупой, основания высот A1 и B1 будут лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Диагонали четырехугольника AA1B1B пересекаются, поэтому он выпуклый. Поскольку ∠AA1B = ∠AB1B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA1B и AB1B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырехугольника AA1B1B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠AB1A1 и ∠ABA1 равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A1A. Аналогично, ∠BA1B1 = ∠BAB1. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
Укажем общую теорему.
Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла.
См. также.
Аналогичное задание с остроугольным треугольником: 340341.
Приведем решение Романа Решетилова.
Треугольники ACA1 и BCB1 подобны по двум углам, поскольку ∠AA1C = ∠BB1C = 90°, ∠ACA1 = ∠BCB1 равны как вертикальные. Следовательно,
Углы ACB и A1CB1 равны как вертикальные, следовательно, треугольники A1CB1 и ACB подобны по отношению двух сторон, заключающих равные углы.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
около него можно описать окружность. Тогда 
как вписанные углы, опирающиеся на дугу AA1, а 
как вписанные углы, опирающиеся на дугу CC1. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
и 
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы 
Рассмотрим треугольники 
и ABC углы 
и BAC равны как вертикальные, 
следовательно, эти треугольники подобны.
с тупым углом 
и 
Докажите, что треугольники 
и