Точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся цен­тром его сим­мет­рии (Ата­на­сян Л. С. Гео­мет­рия 7−9, п. 47). По­это­му точки B и D, а также точки P и T сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но точки O. Сле­до­ва­тель­но, от­но­си­тель­но этой точки сим­мет­рич­ны от­рез­ки BP и DT. Тем самым они равны.

При­ве­дем ре­ше­ние Ар­ту­ра Ал­ле­на.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BOP и DOT. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма де­лит­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам, по­это­му BO  =  OD. Углы PBO и ODT равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых AB и DT се­ку­щей BD. Углы BOP и DOT равны как вер­ти­каль­ные. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки BOP и DOT равны по сто­ро­не и при­ле­жа­щим к ней углам, тогда BP  =  DT.

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Про­ве­дем через точку O пря­мую HK, пер­пен­ди­ку­ляр­ную сто­ро­не По­сколь­ку сто­ро­ны AB и CD па­рал­лель­ны, HK также пер­пен­ди­ку­ляр­но и сто­ро­не Диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AOB и COD, BO равно OD, AO равно OC, углы AOB и COD равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны. По­это­му равны их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, то есть Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки OPH и OKT, они пря­мо­уголь­ные, OH равно OK, углы POH и KOT равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки равны, по­это­му OP равно Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BOP и TOD, OP равно OT, OB равно OD, углы POB и TOD равны как вер­ти­каль­ные, сле­до­ва­тель­но, дан­ные тре­уголь­ни­ки равны, и BP  =  DT.

Тре­уголь­ни­ки AOE и COF равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам: AO  =  CO, по­сколь­ку диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, как вер­ти­каль­ные, как на­крест ле­жа­щие углы при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых AB и CD се­ку­щей AC. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство их сход­ствен­ных сто­рон: AE  =  CF. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей яв­ля­ет­ся цен­тром сим­мет­рии па­рал­ле­ло­грам­ма (Ата­на­сян Л. С., Гео­мет­рия 7−9, п. 47). По­это­му тре­уголь­ни­ки OEA и OFC цен­траль­но сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но точки О и, сле­до­ва­тель­но, равны. По­это­му их сто­ро­ны ЕА и CF равны. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Тре­уголь­ни­ки COL и AON равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам: AO  =  OC, по­сколь­ку диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, как вер­ти­каль­ные, как на­крест ле­жа­щие углы при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых BC и AD се­ку­щей AC. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство их сход­ствен­ных сто­рон: CL  =  AN. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей яв­ля­ет­ся цен­тром сим­мет­рии па­рал­ле­ло­грам­ма (Ата­на­сян Л. С., Гео­мет­рия 7−9, п. 47). По­это­му тре­уголь­ни­ки OLC и ONA цен­траль­но сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но точки О и, сле­до­ва­тель­но, равны. По­это­му их сто­ро­ны CL и AN равны. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.