PDF-версии: 
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.
Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром его симметрии (Атанасян Л. С. Геометрия 7−9, п. 47). Поэтому точки B и D, а также точки P и T симметричны относительно точки O. Следовательно, относительно этой точки симметричны отрезки BP и DT. Тем самым они равны.
Приведем решение Артура Аллена.
Рассмотрим треугольники BOP и DOT. Диагональ параллелограмма делится точкой пересечения пополам, поэтому BO = OD. Углы PBO и ODT равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и DT секущей BD. Углы BOP и DOT равны как вертикальные. Следовательно, треугольники BOP и DOT равны по стороне и прилежащим к ней углам, тогда BP = DT.
Приведем еще одно решение.
Проведем через точку O прямую HK, перпендикулярную стороне 
Поскольку стороны AB и CD параллельны, HK также перпендикулярно и стороне 
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольники AOB и COD, BO равно OD, AO равно OC, углы AOB и COD равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны. Поэтому равны их соответствующие элементы, то есть 
Рассмотрим треугольники OPH и OKT, они прямоугольные, OH равно OK, углы POH и KOT равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны, поэтому OP равно 
Рассмотрим треугольники BOP и TOD, OP равно OT, OB равно OD, углы POB и TOD равны как вертикальные, следовательно, данные треугольники равны, и BP = DT.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
| Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
как вертикальные, 
как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC. Из равенства треугольников следует равенство их сходственных сторон: AE = CF. Что и требовалось доказать.
как вертикальные, 
как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BC и AD секущей AC. Из равенства треугольников следует равенство их сходственных сторон: CL = AN. Что и требовалось доказать.
пересечения диагоналей параллелограмма 
проведена прямая, пересекающая стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно. Докажите, что отрезки 
и 
равны.
и 
в точках 
и 
соответственно. Докажите, что отрезки 
и 
равны.